Моррис Коэн - Введение в логику и научный метод

Анализ общих идей, используемых в математике, показывает, что наиболее распространенной из них является отношение. Ясное понимание его природы крайне важно при изучении структуры суждений.

Отношения легко проиллюстрировать, однако сложно определить. «Быть больше, чем», «быть холоднее, чем», «быть столь же старым, как», «быть отцом» – все это примеры некоторых отношений, в которых объекты разных видов могут находиться друг к другу. Считается, что объект находится в отношении, если мы в своем утверждении о нем открыто указываем на другой объект. Термин, от которого исходит отношение, называется референтом [37] , а термин, на который направлено отношение, называется релатумом. В суждении «Наполеон был мужем Жозефины» отношением является «быть мужем», и оно соединяет «Наполеона» и «Жозефину» [38] . «Наполеон» является референтом, а «Жозефина» – релатумом. Данное отношение является двухместным. В суждении «Борджиа дала яд своему гостю» отношением является «дала». Оно соединяет «Борджиа», «яд» и «гостя». Данное отношение считается трехместным [39] . Четырехместное отношение иллюстрируется в суждении «США купили Аляску у России за семь миллионов долларов». Можно привести и примеры других многоместных отношений, однако отношения с более чем четырьмя терминами встречаются редко.

Примерами двухместных отношений также являются такие суждения, как «Муссолини – итальянец». Здесь имеет место отношение «быть членом класса». В суждении «итальянцы – европейцы» имеет место отношение включенности в класс. Понятие отношения заменяет понятие связки: связка в традиционной логике является особым типом двухместного отношения. Мы еще рассмотрим некоторые свойства двухместных отношений, от которых зависит обоснованный вывод. Однако все многоместные отношения также можно классифицировать на основании различий, которые мы проведем ниже.

В суждении «Наполеон является мужем Жозефины» «быть мужем» представляет отношение; в суждении «Жозефина является женой Наполеона» его представляет «быть женой». Это последнее отношение называется обратным отношением первого. Если Наполеон находится к Жозефине в отношении «быть мужем», то Жозефина не находится к Наполеону в этом же отношении. Поэтому отношение «быть мужем» считается асимметричным.

В суждении «Джону столько же лет, сколько и Тому» отношение «столько же лет, сколько и» является симметричным, ибо если Джон находится в этом отношении к Тому, то и Том находится в этом же отношении к Джону. Симметричное отношение – это то отношение, которое является тем же самым, что и его обратное отношение. Однако если истинно суждение «Джентльмены предпочитают блондинок», то суждение «Блондинки предпочитают джентльменов» может быть истинным, а может быть и ложным. Такие отношения, как «предпочитать», иногда являющиеся симметричными, а иногда – асимметричными, считаются несимметричными.

Если истинно «А является отцом В» и «В является отцом С», то «А не является отцом С». Такое отношение, как «быть отцом», называется «интранзитивным». Однако если «Джон старше Тома» и «Том старше Гарри», то «Джон старше Гарри». Отношение «быть старше» является транзитивным. Некоторые отношения иногда являются транзитивными, а иногда интранзитивными. Если «Цезарь является другом Брута» и «Брут является другом Кассия», то Цезарь может быть другом Кассия, а может таковым и не быть. Подобные отношения называются нетранзитивными (nontransitive).

Отношения, основанные на симметрии и транзитивности, независимы друг от друга, и, следовательно, мы можем получить любой из нижеприведенных девяти типов отношений, а) Транзитивные симметричные. Например, «быть таким же по возрасту, как и». Ь) Транзитивные асимметричные. Например, «быть предком», с) Транзитивные несимметричные. Например, «быть не старше, чем», d) Интранзитивные симметричные. Например, «жениться на», е) Интранзитивные асимметричные. Например, «быть отцом», f) Интранзитивные несимметричные. Например, «ближайший родственник по крови», д) Нетранзитивные симметричные. Например, «быть кузеном». h) Нетранзитивные асимметричные. Например, «быть работодателем», i) Нетранзитивные несимметричные. Например, «быть поклонником».

Третий принцип классификации учитывает количество объектов, с которым референт может быть связан определенным отношением.

Если суждение «мистер А является кредитором мистера В» истинно, то другие люди, помимо мистера А, могут находиться в таком же отношении к мистеру В, и другие люди также могут находиться в этом же отношении и к мистеру А. Такое отношение называется много-многозначным.

Если суждение «Иоганн Христиан Бах является сыном Иоганна Себастьяна Баха» истинно, то другие индивиды, кроме Иоганна Христиана, могут находиться в этом отношении к Иоганну Себастьяну, однако есть только один индивид, к которому Иоганн Христиан может находиться в этом отношении. Отношение «являться сыном» называется «много-однозначным».

Обратным отношением для много-однозначного отношения будет одно-многозначное отношение. Так, при истинности суждения «И. С. Бах является отцом И. X. Баха» И. С. Бах может находиться в этом отношении и к другим индивидам, помимо И. X. Баха, однако только один индивид может находиться в этом отношении к И. X. Баху.

Наконец, рассмотрим суждение «десять на единицу больше девяти». Есть только одно число, к которому «десять» [40] может находиться в этом отношении, и только одно число, которое может находиться в этом отношении к «девяти» [41] . Отношения, такие как «на единицу больше», называются однозначными и играют основополагающую роль в теории соотношений.

Четвертый принцип классификации учитывает то, существует ли определенное отношение между каждой парой из определенного набора или нет. Рассмотрим ряд целых чисел и отношение «быть больше, чем». Любые два целых числа находятся друг к другу в отношении «быть больше, чем» или в обратном ему отношении «быть меньше, чем». Только отношение с таким свойством считается связным. Отношение «больше на два, чем» не обладает связностью.

Многие из умозаключений, рассмотренных нами в предыдущих главах, можно рассматривать как умозаключения, которые зависят от природы отношений включения или исключения классов. Мы кратко отметим то, почему логические свойства этих отношений, равно как и других отношений, важны для изучения обоснованного вывода.

1. Обращение категорических суждений зависит от симметричности или несимметричности отношения включения в класс (или исключения из него). Суждение «все пожарные являются физически развитыми» можно рассматривать как утверждающее, что класс пожарных включен в класс физически развитых людей. Это суждение нельзя попросту подвергнуть операции обращения, поскольку полное включение одного класса в другой является несимметричным отношением. Однако суждение «некоторые пожарные являются физически развитыми» можно подвергнуть обращению, поскольку частичное включение классов является симметричным отношением. Операция обращения также допустима и для суждения «ни один пожарный не является физически развитым человеком», т. к. полное исключение одного класса из другого является симметричным отношением.