Моррис Коэн - Введение в логику и научный метод

Однако нет необходимости в том, чтобы этими операциями были только обычные алгебраические операции. Операции, в целом относящиеся к типу неколичественных, были выработаны для сочетания классов, рассмотренных с их объемами.

Ниже мы предлагаем краткое описание общей теории классов суждений, которое хотелось бы предварить советом, взятым из работ Доджсона: «Если вы не поняли определенный отрывок, перечитайте его заново. Если он все равно остался непонятным, перечитайте его заново. Если, прочитав отрывок три раза, вы не достигли понимания, то, скорее всего, ваш мозг начал уставать. В этом случае отложите книгу и займитесь другими делами, а на следующий день, когда вы прочтете его свежим взглядом, он наверняка покажется вам вполне легким для понимания».

Из истории символической логики известно, что сначала была разработана теория классов, поскольку было изначально замечено, что аристотелевскую логику можно рассматривать как дисциплину, имеющую дело с взаимосвязями между классами. Однако при систематическом изложении принципов логики логика классов не занимает первого места относительно других принципов. Утверждать, что два класса находятся друг к другу в определенном отношении, означает утверждать определенное суждение. Любое исследование в рамках теории классов использует принципы теории суждений. Поэтому теория суждений предшествует любому другому исследованию в области логики и должна быть разработана в первую очередь. Однако в столь элементарном обсуждении, каким является наше исследование, данным обстоятельством можно пренебречь, поскольку наша основная цель заключается в том, чтобы указать на то направление, в котором может быть расширена традиционная логика, а не в том, чтобы предложить систематический анализ обобщенной логической теории. Поэтому ничего страшного не произойдет, если мы, изменив логическому порядку, проследим за хронологической последовательностью в разработке данных логических принципов.

Под термином «класс» мы будем понимать группу индивидуальных объектов, каждый из которых обладает определенными свойствами, благодаря которым он считается членом данного класса. Так, класс, обозначаемый термином «человек», является множеством отдельных людей, класс, обозначаемый термином «четное число», является множеством четных целых чисел и т. д. Таким образом, мы будем рассматривать классы относительно их объема. Область возможных классов называется универсумом рассуждения (предметной областью) или просто универсумом (областью). Он будет обозначаться символом «1». Может случиться так, что класс не будет содержать никаких членов. Например, класс людей ростом в двадцать футов не имеет членов, хотя и обладает определяющей характеристикой, а именно: человек ростом в двадцать футов. Такой класс будет называться нуль-классом и будет обозначаться символом «О». Понятие нуль-класса, несмотря на свою сложность для начинающих, имеет много технических преимуществ.

Существует три вида операций над классами, каждый из которых имеет собственное обозначение. Рассмотрим класс мужчин на универсуме людей. Исключив этот класс из указанного универсума, мы получим класс женщин. Индивиды, являющиеся членами универсума, но не являющиеся членами класса мужчин, будут обозначаться как «дополнение» к классу мужчин. Следовательно, женщины являются дополнением к классу мужчин на данном универсуме рассуждения. Класс и его дополнение исключают друг друга и исчерпывают универсум рассуждения. Если «а» представляет некий класс, то «не-a» представляет его отрицание.

Теперь рассмотрим два класса: английские книги и французские книги. Класс, содержащий английские или французские книги, называется логической суммой этих классов. Операция объединения классов подобным образом называется логическим сложением. Если а и Ь являются классами, то их логической суммой будет а + Ь. Читается это либо как «а плюс Ь», либо как «а или Ь». Данная дизъюнкция не является строгой. Символ «+» используется, поскольку логическое сложение обладает некоторыми формальными аналогиями по сравнению со сложением в обычной арифметике.

Далее рассмотрим класс профессоров и класс раздражительных людей. Предположим, мы хотим выбрать всех индивидов, которые являются членами обоих классов, чтобы получить класс раздражительных профессоров. Такая операция называется логическим умножением, а ее результат называется логическим произведением двух классов. Если а и Ь являются классами, то их произведение может быть обозначено как «а х b» или просто как «аЬ».

На данном этапе становится понятно, откуда берется идея нуль-класса. Мы полагаем, что, умножая классы, мы получаем классы. Логическим произведением классов женщин и водителей электровозов является класс женщин, являющихся водителями электровозов. Следовательно, этот класс будет классом, даже если в нем не будет ни одного члена.

До настоящего момента мы рассматривали операции над классами. Однако мы не сможем получить исчисления до тех пор, пока не предложим символическую запись для отношений между классами. Различие между операциями над классами и отношениями между классами заключается в том, что проведение операций над классами дает нам новые классы, а утверждение тех или иных отношений между классами дает суждения, а не классы. Основополагающим отношением мы будем рассматривать отношение включения в класс. Один класс будет считаться включенным в другой, если каждый член первого класса также является и членом второго. Если а и Ь являются классами, то суждение «а включен в Ь» мы будем обозначать как «а < Ь».

Отношение включения (<) является транзитивным и несимметричным, т. к. если а < b и Ь < с, то а < с. Но если а < b, то из этого еще не следует, что b < а. Мы можем определить равенство двух классов в терминах обоюдного включения. Класс а равен Ь, если а включен в Ь и Ь включен в а, т. е. если у них одни и те же члены. Символически это будет выглядеть так: (а = Ь) = (а < b). (Ь < а), где знак «=» обозначает равенство между классами, а знак «=» обозначает эквивалентность между суждениями, а точка («.») обозначает совместное утверждение двух суждений.

Принципы исчисления классов Чтобы начать исчисление, нужно установить ряд основополагающих принципов, которые будут совершенно недвусмысленно определять природу только что обсуждавшихся нами операций и отношений. Обычно предполагается следующий набор принципов.

1. Принцип тождества : для любого класса а < а.

В этом принципе утверждается, что каждый класс включен в самого себя. Из данного принципа, а также из определения равенства следует, что а = а.