Дмитрий Гусев - Логика. Учебное пособие

1. Он занимается живописью;

2. Он занимается музыкой;

3. Он занимается литературой.

Эти три суждения объединены разделительной связью, однако они друг друга не исключают (возможно заниматься и живописью, и музыкой, и литературой), следовательно перед нами – нестрогая дизъюнкция, форму которой можно представить следующей условной записью: а ⋁ в ⋁ с, где а, в, с – указанные выше простые суждения. Понятно, что форму а ⋁ в ⋁ с можно наполнить каким угодно содержанием, например: Цицерон был политиком или оратором, или писателем; Он изучает английский или немецкий, или французский; Люди передвигаются наземным или воздушным, или водным транспортом и т. д. и т. п.

Формализуем рассуждение: Он учится в 9 классе или в 10 классе, или в 11 классе; Однако, известно, что он не учится ни в 10, ни в 11 классе; Следовательно он учится в 9 классе. Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение и обозначим их маленькими буквами латинского алфавита:

1. Он учится в 9 классе (а);

2. Он учится в 10 классе (в);

3. Он учится в 11 классе (с).

Первая часть рассуждения представляет собой строгую дизъюнкцию этих трех высказываний (а ⊻ в ⊻ с). Вторая часть рассуждения является отрицанием второго (¬в) и третьего (¬с) высказываний, причем эти два отрицания соединяются, т. е. связаны конъюнктивно (¬ в ∧ ¬с). Эта конъюнкция отрицаний присоединяется к упомянутой выше строгой дизъюнкции трех простых суждений ((а ⋁ в ⋁ с) ∧ (¬ в ∧ ¬с)), и уже из этой новой конъюнкции в качестве следствия вытекает утверждение первого простого суждения (Он учится в 9 классе). Логическое следование, как мы уже знаем, представляет собой импликацию. Таким образом, результат формализации нашего рассуждения в итоге выражается формулой: ((а ⋁ в ⋁ с) ∧ (¬ в ∧ ¬с)) →а. Понятно, что перед нами логическая форма, которую можно наполнить любым содержанием. Например: Впервые человек полетел в космос в 1957 году или в 1959 году, или в 1961 году; Однако, известно, что впервые человек полетел в космос не в 1957 году и не в 1959 году; Следовательно впервые человек полетел в космос в 1961 году. Еще один вариант: Философский трактат «Критика чистого разума» написал то ли Иммануил Кант, то ли Георг Гегель, то ли Карл Маркс; Однако, ни Гегель, ни Маркс не являются авторами этого трактата; Следовательно, его написал Кант.

Результатом формализации любого высказывания или рассуждения является какая-либо формула, состоящая из маленьких букв латинского алфавита, выражающих входящие в рассуждение простые высказывания, и условных обозначений логических связей между ними (конъюнкции, дизъюнкции и др.). Все формулы делятся в логике на три вида.

Тождественно-истинные формулыявляются истинными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных (т. е. простых суждений). Любая тождественно-истинная формула представляет собой логический закон.

Тождественно-ложные формулыявляются ложными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных. Тождественно-ложные формулы представляют собой отрицание тождественно-истинных формул и являются нарушением логических законов.

Выполнимыеили нейтральные формулыпри различных наборах истинностных значений входящих в них переменных являются то истинными, то ложными.

Если в результате формализации какого-либо рассуждения получается тождественно-истинная формула, то такое рассуждение является логически верным, или правильным. Причем его правильность будет не случайной, а закономерной, т. к. построение рассуждения в соответствии с тождественно-истинной формулой гарантирует его логическую верность независимо от его содержания, т. е. от того, о чем идет в нем речь. Если же результатом формализации будет тождественно-ложная формула, то рассуждение следует признать логически противоречивым (и, конечно же, неверным, или неправильным). Причем его неправильность будет не случайной, а закономерной, т. к. построение рассуждения в соответствии с тождественно-ложной формулой обусловливает его ошибочность, или логическую неверность независимо от его содержания. Выполнимая или нейтральная формула также свидетельствует о логической неверности того рассуждения, формализацией которого она является. На первый взгляд это может показаться странным, однако дело здесь заключается в том, что рассуждение, построенное в соответствии с выполнимой формулой может приводить как к истинным, так и к ложным выводам в зависимости от его содержания, т. е. от того, о чем будет идти в нем речь. Если выводы рассуждения, построенного в соответствии с выполнимой формулой окажутся истинными, то их истинность будет случайной, а не закономерной: при другом содержании рассуждения его выводы могут быть ложными. Иначе говоря, выполнимые формулы не гарантируют истинность выводов и, соответственно, логическую правильность тех рассуждений (независимо от их содержания), формализацией которых они являются. Поэтому, рассуждения, формой которых выступают выполнимые формулы, следует признать логически неправильными.

Для того, чтобы определить, к какому виду относится та или иная формула и, соответственно, оценить логическую верность какого-то рассуждения, надо, как правило, составить специальную таблицу истинности для этой формулы.

Рассмотрим следующее рассуждение: Владимир Маяковский родился в 1891 году или в 1893 году; Однако известно, что он родился не в 1891 году; Следовательно он родился в 1893 году. Формализуя это рассуждение, выделим входящие в него простые высказывания:

1. Владимир Маяковский родился в 1891 году;

2. Владимир Маяковский родился в 1893 году.

Первая часть нашего рассуждения, несомненно, представляет собой строгую дизъюнкцию этих двух простых высказываний (а ⋁ в). Далее к этой дизъюнкции присоединяется отрицание первого простого высказывания, и получается конъюнкция ((а ⋁ в) ∧ а). И наконец из этой конъюнкции вытекает утверждение второго простого суждения, и получается импликация (((а ⊻ в) ∧ а) →в), которая и является результатом формализации данного рассуждения. Теперь надо составить таблицу истинности для получившейся формулы.

Количество строк в таблице определяется по правилу 2 n, где n – количество переменных (простых высказываний) в формуле. Поскольку в нашей формуле только две переменных (а и в), то в таблице должно быть четыре строки (не считая, конечно же, верхнюю строчку, которая является так называемой «шапкой» таблицы). Количество колонок в таблице равно сумме числа переменных и числа логических союзов, входящих в формулу. В рассматриваемой формуле две переменных (а и в) и четыре логических союза (⊻, ∧, ¬, →), т. е. в таблице должно быть шесть колонок.