Дмитрий Гусев - Логика. Учебное пособие

Первые две колонки представляют собой все возможные наборы истинностных значений переменных (таких наборов всего четыре: обе переменные истинны; первая переменная истинна, а вторая ложна; первая переменная ложна, а вторая истинна; обе переменные ложны).

Третья колонка – это истинностные значения строгой дизъюнкции (а ⊻ в), которые она принимает в зависимости от всех (четырех) наборов истинностных значений переменных.

Четвертая колонка – это истинностные значения отрицания первого простого высказывания (¬а).

Пятая колонка – это истинностные значения конъюнкции, состоящей из вышеуказанной строгой дизъюнкции и отрицания ((а ⊻ в) ∧ ¬а), и наконец, шестая колонка – это истинностные значения всей формулы или импликации (((а ⊻ в) ∧ ¬а) →в).

Как видим, мы разбили всю формулу на составные части, каждая из которых является двучленным сложным суждением, т. е. состоящим из двух элементов (в предыдущем параграфе говорилось о том, что отрицание (¬а) также представляет собой двучленное сложное суждение).

В четырех последних колонках таблицы представлены истинностные значения каждого из этих двучленных сложных суждений, образующих формулу. Сначала заполним третью колонку таблицы (а ⊻ в). Для этого нам надо вернуться к предыдущему параграфу где была представлена таблица истинности сложных суждений, которая в данном случае будет для нас базисной (как таблица умножения в математике). В этой таблице мы видим, что строгая дизъюнкция ложна, когда обе ее части истинны или обе ложны; когда же одна ее часть истинна, а другая ложна, тогда строгая дизъюнкция истинна. Поэтому значения строгой дизъюнкции (а ⊻ в) в заполняемой таблице (сверху вниз) таковы: «ложно», «истинно», «истинно», «ложно». Далее заполним четвертую колонку таблицы (¬а): когда утверждение (а) два раза истинно и два раза ложно, тогда отрицание (¬а), наоборот, два раза ложно и два раза истинно. Пятая колонка – это конъюнкция ((а ⊻ в) ∧ ¬а). Зная истинностные значения строгой дизъюнкции (а ⊻ в) и отрицания (¬а), мы можем установить истинностные значения конъюнкции, которая истинна только тогда (см. базисную таблицу в предыдущем параграфе), когда истинны все входящие в нее элементы. Строгая дизъюнкция (а ⊻ в) и отрицание (¬а), образующие данную конъюнкцию, одновременно истинны только в одном случае, следовательно конъюнкция ((а ⋁ в) ∧ ¬а) один раз принимает значение «истинно», а в остальных случаях – «ложно». Наконец, надо заполнить последнюю колонку для импликации (((а ⊻ в) ∧ ¬а) →в), которая и будет представлять истинностные значения всей формулы.

Возвращаясь к базисной таблице истинности сложных суждений, вспомним, что импликация ложна только в одном случае, когда ее основание истинно, а следствие ложно. Основанием нашей импликации является конъюнкция ((а ⊻ в) ∧ ¬а), представленная в пятой колонке таблицы, а следствием является простое суждение (в), представленное во второй колонке. (Некоторое неудобство в данном случае составляет то, что слева направо следствие идет раньше основания, однако мы всегда можем мысленно поменять их местами). В первом случае (первая строчка таблицы, не считая «шапки») основание импликации ложно, а следствие истинно, значит, импликация истинна. Во втором случае и основание, и следствие ложны, значит импликация истинна. В третьем случае и основание, и следствие истинны, значит импликация истинна. В четвертом случае, как и во втором, и основание, и следствие ложны, значит импликация истинна.

Как видим, рассматриваемая формула принимает значение «истинно» при всех наборах истинностных значений входящих в нее переменных, следовательно, она является тождественно-истинной, а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически правильно.

Рассмотрим еще один пример. Требуется формализовать следующее рассуждение и установить, к какому виду относится выражающая его формула: Если какое-либо здание является старым, то оно нуждается в капитальном ремонте; Это здание нуждается в капитальном ремонте; Следовательно это здание старое. Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение:

1. Какое-либо здание является старым;

2. Какое-либо здание нуждается в капитальном ремонте.

Первая часть рассуждения представляет собой импликацию (а →в) этих простых высказываний (первое является ее основанием, а второе – следствием). Далее, к этой импликации присоединяется утверждение второго простого высказывания, и получается конъюнкция ((а →в) ∧ в). И наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение первого простого высказывания, и получается новая импликация (((а →в) ∧ в) →а), которая и является результатом формализации рассматриваемого рассуждения. Чтобы определить вид получившейся формулы, составим таблицу ее истинности. В формуле две переменных (а и в), значит в таблице будет четыре строчки (не считая верхней); также в формуле три союза ( →, ∧, →), значит в таблице будет пять колонок. Первые две колонки – это истинностные значения переменных. Третья колонка – истинностные значения импликации (а g в). Четвертая колонка – истинностные значения конъюнкции ((а →в) ∧ в). Пятая, последняя колонка – истинностные значения всей формулы – итоговой импликации (((а →в) ∧ в) →а). Таким образом, мы разбили формулу на три составные части, представляющие собой двучленные сложные суждения. Заполним последовательно три последних колонки таблицы по тому же принципу, что и в предыдущем примере, т. е. опираясь на базисную таблицу истинности сложных суждений.

Как видим, рассматриваемая формула принимает как значение «истинно», так и значение «ложно» при различных наборах истинностных значений входящих в нее переменных, следовательно, она является выполнимой или нейтральной, а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически неверно, или неправильно: при ином содержании рассуждения такая форма его построения могла бы привести к ошибке. (Например: Если слово стоит в начале предложения, то оно пишется с большой буквы; Слово «Москва» всегда пишется с большой буквы; Следовательно, слово «Москва» всегда стоит в начале предложения ).

Мы рассмотрели формулы, состоящие из двух переменных, в силу чего в таблицах их истинности было по 2 2= 4 строчки, обозначающие все возможные наборы (см. первые две колонки вышеприведенных таблиц) истинностных значений переменных: