Валентин Асмус - Учение логики о доказательстве и опровержении

Если бы факты, подтверждающие доказываемое положение, были сами по себе вполне достаточны для строгого и полного его доказательства, то в таком случае индукция через простое перечисление была бы самым надёжным способом доказательства во всех науках, опирающихся на факты. Известно, однако, насколько ненадёжно, недостоверно всякое обобщение, основывающееся только на том, что в пределах наблюдения пока не обнаружены факты, ему противоречащие. Любой такой факт, найденный впоследствии, сразу опрокидывает или по меньшей мере ограничивает обобщение.

Окружающая нас действительность (особенно это касается общественной жизни) настолько сложна и многообразна, что в подтверждение любого положения, даже явно вздорного, можно подобрать большее или меньшее число отдельных фактов. Однако то обстоятельство, что существуют одновременно и такие факты, которые это же положение опровергают, говорит о том, что единичные факты, будучи взяты сами по себе, в отрыве друг от друга и от окружающих условий, ничего не доказывают.

Поэтому значение оснований доказательства факты получают только тогда, когда они берутся не изолированно, не поодиночке; такое значение факты могут иметь только при условии, если они рассматриваются в их связи и не сами по себе, а как носители общих законов, в этих фактах проявляющихся и ими управляющих.

В состав оснований доказательства входят, кроме положений об удостоверенных фактах, также и определения основных понятий данной науки. В самом деле: доказательство есть переход от положений, уже ранее принятых, к некоторому новому положению, истинность которого необходимо следует из истинности принятых положений. Однако не все из числа этих ранее принятых положений доказываются: некоторые из них представляют собой просто определения основных понятий науки. Так, доказательство теоремы о сумме внутренних углов плоского треугольника в евклидовой геометрии опирается не только на ранее доказанные теоремы о свойствах внутренних накрест лежащих углов, соответственных углов и смежных углов и не только на принимаемое без доказательства положение о параллельных, но также и на определения понятий «плоский треугольник», «внутренние углы плоского треугольника», «параллельные линии», «внутренние накрест лежащие углы», «соответственные углы», «смежные углы», «прямые углы».

Но из того, что определения — в качестве определений — не доказываются, а просто формулируются, отнюдь не следует, будто определения принимаются произвольно или представляют простые «соглашения» относительно смысла тех или иных терминов. Чтобы определение было пригодным для науки, необходимо, чтобы определяемый предмет существовал в самой действительности. Поэтому и в математических науках, и в естествознании, и в науках общественных принятие определения всегда предполагает, что может быть доказано существование характеризованного посредством определения предмета. Условно лишь словесное обозначение предмета (свойства, явления, отношения), но не сам предмет как существующий в действительности. Существование же определяемого предмета может быть и должно быть доказано. Должно быть доказано также соответствие определения определяемому предмету.

Определение понятий необходимо, так как оно — и только оно — даёт возможность во всех рассуждениях, посредством которых в доказательстве совершается переход от доказанного к доказываемому, мыслить входящие в эти рассуждения основные понятия науки в одном и том же содержании и, таким образом, мыслить посредством этих понятий одни и те же предметы.

Наличие определений в составе оснований не значит, однако, будто все определения, необходимые для данного доказательства, непременно формулируются в самом данном доказательстве. Обычно определения формулируются не в каждом данном доказательстве, а в начале изложения науки или, по крайней мере, того раздела науки, к которому относится данное доказательство. Так, в «Началах» Евклида определениями основных понятий начинается каждая книга этого труда. При этом определения в каждой следующей книге новые и не повторяют определений, данных в предыдущих книгах. Но, не появляясь вновь в каждом данном доказательстве, определения понятий, необходимые для точного проведения данного доказательства, непременно им предполагаются и всегда могут быть найдены в соответствующем месте изложения.

Однако из того, что в число оснований, общих для всех доказательств данной науки, входят определения основных понятий данной науки, ещё не следует, будто определению подлежат все без исключения понятия данной науки. И действительно: определить — значит свести неизвестное к известному, сложное к простому. Но есть предметы настолько простые и настолько всем известные, что определить понятия об этих предметах невозможно. Всякая попытка такого определения приводит или к тому, что в определяющем повторяется определяемое (круг в определении), или к тому, что до определения понятное и ясное после определения становится непонятным и неясным.

Таким образом, задача науки в отношении определения понятий, входящих в основания доказательства, состоит в том, чтобы избежать двух противоположных ошибок: 1) не оставить не определёнными те понятия, которые должны быть определены, и 2) не пытаться понапрасну определять те понятия, которые по своей крайней простоте не могут быть определены.

Это правильное понимание задачи определения оснований доказательства хорошо сформулировал Паскаль. В небольшой работе «О геометрическом уме» (De l’esprit géométrique) Паскаль писал: «... порядок, совершеннейший у людей, состоит не в том, чтобы всё определять и всё доказывать, и не в том также, чтобы ничего не определять и ничего не доказывать; но в том, чтобы, держась среднего пути, не определять вещей, ясных и понятных всем людям, но определять все остальные, и не доказывать всех вещей, известных людям, но доказывать все остальные» [15] Blaise Pascalt Oeuvres complètes, tome troisième, Paris 1903, p. 165. .

Поэтому число определений, входящих в основания доказательств данной науки и формулируемых в начале её изложения, обычно бывает невелико и без нужды не должно быть увеличиваемо.

Положения об удостоверенных фактах и определения входят в число оснований самых различных наук: естественных и общественных.

В математике, механике и теоретической физике кроме определений и удостоверенных фактов в число оснований доказательства входят ещё аксиомы, или постулаты. Так называются положения, которые предполагаются истинными, но в пределах каждой науки в качестве истинных не доказываются.