Александр Бурьяк - Аналитическая разведка

Люди, тяготеющие к использованию математического аппарата, склонны подгонять свои формализации под типы математических моделей, которые предполагают использовать. Иначе говоря, они структурируют предметную область так, чтобы впоследствии им было удобнее работать с результатами структуризации. Это происходит непроизвольно. А выработав некоторый взгляд на предметную область, они оказываются не в состоянии воспринимать ее с иной точки зрения, разделять ее на компоненты каким-то другом образом. Вследствие этого игнорируются некоторые детали и упускаются некоторые возможности. Дефект мышления, обусловленный чрезмерным пристрастием к математике, называется схематизмом.

Люди со схематичным мышлением очень привязываются к каким-нибудь простеньким моделям, и заставить их выйти за пределы этих моделей бывает очень затруднительно. Этим людям представляется, что они ухватили суть, а остальное - несущественные детали, от которых следует абстрагироваться. У таких людей наращивание представлений идёт не путём сбора впечатлений и последующей выработки обобщающих их разнородных моделей, а путём “натягивания” любимой модели на новые группы фактов, отобранных по признаку удобства такого “натягивания”. Когда они берутся за сложные проблемы, требующие НЕФОРМАЛЬНОГО подхода, результаты бывают огорчительные.

Так называемые нежёсткие модели появились в математике как попытка приблизиться к механизму естественного мышления, то есть их существование отчасти является косвенным признанием того, что не пользующийся математикой интеллект вполне справляется с некоторыми операциями, а с некоторыми справляется даже лучше, чем вооружённый ею.

12.2.1. Статистические характеристики

Математическая статистика - теория, в которой рассматриваются способы агрегирования информации посредством вычисления совокупных и средних значений показателей.

Виды средних значений:

1) среднее арифметическое:

M = (V1 + V2 + … + Vn) / n

2) среднее геометрическое:

G = SQRT(V1*V2*…*Vn)

(здесь и далее SQRT - функция извлечения квадратного корня)

3) среднее квадратическое (выражается в тех же единицах, что и характеризуемый показатель):

S = SQRT((V1*V1 + V2*V2 + … + Vn*Vn) / n)

4) дисперсия (сумма квадратов отклонений случайной величины от ее среднего значения, взвешенных на вероятности этих отклонений):

V = Р1(V1 - M)**2 + Р2(V2 - M)**2 + .. + Рn(Vn - M)**2

где M - среднее арифметическое значение;

Рi - вероятность отклонения Vi - M;

5) среднее гармоническое:

H = n (1 V1 + 1/V2 + … + 1/Vn)

6) мода: наиболее часто встречаемое значение;

7) медиана (значение, равное среднему между наибольшим и наименьшим):

M = (Vmax + Vmin) / 2

8) среднее взвешенное:

W = (V1*W1 + V2*W2 + … + Vn*Wn) / (W1 + W2 + … + Wn)

где Wi - количество значений Vi;

Характеристики разнообразия (разброса значений):

1) среднее квадратичное отклонение (характеризует абсолютный разброс значений; выражается в тех же единицах, что и характеризуемый показатель):

S = SQRT(((V1-M)*(V1-M)+(V2-M)*(V2-M)+…+(V1-M)*(V1-M))/n-1)

здесь:

M - средняя арифметическая величина;

n - количество значений показателя;

2) коэффициент вариации (характеризует относительный разброс значений - относительно среднего арифметического):

C = (100 * S) / M

здесь:

S - среднее квадратичное отклонение;

M - средняя арифметическая величина;

3) размах (разница между наибольшим и наименьшим значением):

L = Vmax - Vmin

12.2.2. Статистические методы построения моделей

Основные статистические методы построения формул, выражающих взаимозависимость измеренных показателей некоторых объектов:

1. Метод корреляционного анализа - аппроксимация эмпирической зависимости между величинами X и Y формулой вида

Y = K*X + A где K - коэффициент корреляции.

2. Метод множественной регрессии - аппроксимация зависимости показателя от некоторого набора показателей, не зависящих один от другого, формулой вида

Y = A + B1*X1 + B2*X2 + … + BN*XN

где Xi - показатели;

Bi - коэффициенты регрессии.

3. Метод факторного анализа - выявление новых показателей Y1 ..YN (факторов) вместо имеющихся показателей X1..XM, где N < M. Метод реализуется в предположении, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых показателей X1..XM определяются влиянием на них меньшего числа ненаблюдаемых показателей Y1..YN.

При использовании какого-либо метода математической статистики для получения математической модели некоторой зависимости исследователь должен иметь априорную гипотезу о типе этой зависимости. Статистические методы позволяют лишь подтвердить гипотезу или выяснить значения коэффициентов в формуле, выражающей предполагаемую зависимость между параметрами.

12.2.3. Опасности использования статистики

Есть три разновидности лжи: ложь,

гнусная ложь и статистика.

Б. Дизраэли.

Некорректное применение статистики бывает причиной самообмана, а также используется иногда как средство ввода в заблуждение.

К примеру, можно рассмотреть три типичных варианта разброса значений свойства Q некоторых объектов (это может быть уровень жизни граждан некоторой страны, количество побед в воздушных боях, приходящееся на одного летчика-истребителя и т. д.):

A: B: C: +

Q| Q| * Q| * |I

| | | +

| | * |

|* * * | | +

| ** | | * |II

| | * | * +

-+–––––—>N -+–––––—>N -+–––––—>N

Показатель “среднее значение” может быть корректно применен в качестве единственной характеристики возможных значений Q только в отношении варианта A, но не вариантов B и C. Для варианта B следует совместно использовать две статистические характеристики: среднее арифметическое значение и показатель разброса значений - среднее квадратичное отклонение. В варианте C следует использовать по одному показателю “среднее арифметическое значение” для каждой из групп I и II.

12.2.4. Сворачивание показателей

Мангейм Дж. Б., Рич Р. К.: “Построение индекса заключается в сведении сложных данных в единый показатель, который отражает значение понятия полнее, чем любой из его компонентов. Широко используются три типа индексов: аддитивные, мультипликативные и взвешенные.” (“Политология: методы исследования”, стр. 304)).

У указанных авторов:

1. Аддитивные индексы - складывающиеся: I = A+B. “Для выяснения размеров ‘религиозного сообщества’ в некоторой стране можно было бы просуммировать все числовые данные, отражающие количество приверженцев различных религий, исповедуемых в этой стране.”

2. Мультипликативные индексы - перемножающиеся: I = A * B. “Для получения показателя степени серьезности беспорядков мы могли бы число участников умножить на число часов, вычислив, таким образом, число ‘человеко-часов’, пришедшихся на беспорядки.”

3. Взвешенные индексы - относительные: I = A/B. “Использование числа участников антиправительственной манифестации в качестве показателя величины кредита доверия к правительству правомерно только тогда, когда это число выражено в форме процентного отношения к численности всего населения.”