Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

РИС. 2

Риман помог истолковать сферу в качестве модели эллиптической геометрии, а следовательно — неевклидовой геометрии, в которой аксиома параллельных прямых ложная, в том смысле, что нет параллельных прямых (как, допустим, в проективной геометрии). В сфере роль прямых берут на себя наибольшие круги. То есть если мы назовем прямыми наибольшие круги, то получим евклидову модель эллиптической геометрии.

Два любых наибольших круга всегда пересекаются. Это случай меридианов Земли, которые всегда пересекаются на полюсах. Поскольку аксиома параллельных прямых не выполняется, сумма углов треугольника не составляет 180°, что показано на сферическом треугольнике на рисунке 3, углы которого в сумме дают 230°. Однако локально, в небольшом масштабе, евклидова геометрия, похоже, выполняется (см. рисунок 4, сумма углов треугольника составляет 180°). Эти открытия позволили Риману рассматривать проективную плоскость в контексте сферической геометрии.

Так что неевклидовы геометрические модели, извлеченные на свет математиками XIX века, только вернули данный вопрос в рамки евклидовой геометрии. Если последняя раньше считалась единственно справедливой, теперь же странные неевклидовы геометрии рассматривались наравне с евклидовой геометрией (которая оказывалась их особым случаем), и возникал правомерный вопрос: в чем же справедливость евклидовой геометрии? Можно ли с уверенностью утверждать, что она не содержит никаких противоречий?

Важнейшим следствием из признания неевклидовых геометрий была необходимость рассмотреть проблему справедливости геометрии и всей математики с точки зрения оснований. До тех пор связность евклидовой геометрии обеспечивало то, что она соответствовала физическому пространству, в котором нет противоречий. Кроме интересных результатов, количество которых постоянно возрастало, внимание также привлекали и основополагающие вопросы. Аксиоматический подход последней трети XIX века, во главе которого стояли Мориц Паш (1843-1930) и Джузеппе Пеано (1858-1930), обозначил их особенно остро, и только Гильберт смог дать определенный ответ. Но прежде требовалось найти подходящую аксиоматику евклидовой геометрии, которая закрыла бы постепенно открывающиеся логические бреши.

Как это было с теорией инвариантов, настал день, когда Гильберт устал и оставил теорию чисел, переключившись на основы геометрии. Никто не ожидал такого, пусть даже он и вел два курса по этому предмету в Кёнигсберге. Эта новость застала врасплох всех его новых коллег по Гёттингену. Однако в своем «Отчете о числах» Гильберт подчеркивал, что современная математика развивается под знаком числа, и потому призывал к арифметизации геометрии, ориентированной на логический анализ последней. В этом угадываются зачатки его знаменитых Grundlagen der Geometrie («Основания геометрии»), публикация которых в 1899 году была приурочена к открытию в Гёттингене статуи Гаусса и Вебера в память об изобретении ими телеграфа. Эта работа сразу же обозначила новую парадигму исследования оснований и аксиоматическую практику в XX веке, как «Начала» за несколько веков до этого.

В книге излагалась аксиоматика геометрии, которая на голову превосходила аксиоматику не только Евклида, но и предложенные Пашем и Пеано. Гильберт заявил, что работа по установлению минимального числа гипотез, из которых можно вывести всю геометрию, осуществлена не полностью, и сформулировал 21 аксиому. Эти аксиомы возникли не из ниоткуда, их скрыто или открыто применяли еще в древности. Они были продуктом не чистой мысли, а скорее интуиции (это логично, учитывая, что книгу открывает цитата из Канта). В том виде, как ее задумывал Гильберт, геометрия была ближе к механике и физике, чем к алгебре и теории чисел.

Гильберт сформулировал свои аксиомы для трех систем неопределенных объектов. Объекты первой системы он назвал точками; второй — прямыми; а третьей — плоскостями. Но, в отличие от Евклида, он не дал определений элементарным геометрическим понятиям. Сами аксиомы определяют их, устанавливая внутренние отношения. В них самих содержатся утверждения о точках, прямых и плоскостях и о том, что с ними можно делать. По Гильберту, нужно избавиться от налета толкований элементарных объектов. Аксиомы, и только они (без каких-либо предварительных определений или рисунков), характеризуют элементарные объекты через их взаимоотношения. «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках», — писал он. Аксиомы допускают множественные толкования, и в этом коренное различие материальной аксиоматики Евклида и новой формальной аксиоматики Гильберта.

Используя все свое математическое умение, 21 аксиому евклидовой геометрии он классифицировал по пяти группам:

— аксиомы принадлежности, которые связывают между собой различные объекты, например позволяют утверждать, что «эта точка принадлежит этой прямой» или «эта прямая принадлежит этой плоскости»;

— аксиомы порядка, которые позволяют утверждать, что, например, «эта точка лежит между этими двумя» (как отметил Паш, данный тип аксиом полностью отсутствовал среди евклидовых постулатов);

— аксиомы конгруэнтности, определяющие соразмерность отрезков;

— аксиома параллельности имеет знаменитую формулировку о параллельных прямых;

— аксиомы непрерывности, их две: так называемая аксиома Архимеда, которая гласит, что если последовательно повторять любой из двух заданных произвольных отрезках, мы можем построить отрезок большего размера, чем первый, за конечное число шагов; и аксиома полноты линии, или непрерывности прямой, она гласит, что точки одной прямой образуют систему, неподверженную какому- либо расширению при условии сохранения линейного порядка и отсутствии противоречия аксиоме конгруэнтности и аксиоме Архимеда.

Без аксиомы непрерывности нельзя утверждать, что две окружности пересекутся в точке С и,следовательно, что можно построить равносторонний треугольник со стороной АВ (как это заявлено в Пропозиции I Книги I «Начал» Евклида).

Последней аксиомы в «Началах» не было, хотя необходимость в ней возникает даже при доказательстве Пропозиции I Книги I. То, что Гильберт извлек ее на свет, составляет один из важнейших его вкладов. Без нее Q 2(то есть плоскость, в которой у точек есть только рациональные координаты) было бы моделью евклидовой геометрии, поскольку она бы удовлетворяла всем предыдущим аксиомам. Однако, как подчеркнул Рихард Дедекинд (1831-1916), в этой дырявой плоскости две окружности, каждая из которых проходит через центр другой, необязательно должны пересекаться (что предполагалось в Пропозиции I), потому что это возможно в точке с иррациональными координатами (в дырке). Аксиома полноты линии, или непрерывности прямой, позволяет определить любую прямую с действительными числами R и, следовательно, плоскость R 2(то есть полную плоскость со всеми точками с рациональными и иррациональными координатами), где две окружности гарантированно пересекутся (см. рисунок). Это мост между синтетической геометрией, основанной на диаграммах и чертежах, и аналитической, выстраиваемой на вычислениях.