Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

В начале XIX века в проективной геометрии наметился прорыв, и совершил его французский математик Виктор Понселе (1788-1867). Этот наполеоновский офицер, оказавшись в российском плену, посвятил себя усовершенствованию идей в данной области и по возвращении домой опубликовал «Трактат о проективных свойствах фигур» (1822). В нем Понселе ввел понятие проективной геометрии как сферы знания, рассматривающей свойства фигур, которые сохраняются при проецировании, то есть свойств, общих для фигур с их тенями и проекциями. Эти свойства включают в себя отношения принадлежности, но не отношения расстояния или размера. Так, если три точки лежат на одной прямой, при проецировании они на одной прямой и остаются, но очень вероятно, что расстояние между ними изменится. Точно так же тень, которую отбрасывает каждый из нас, не равна нам по размеру. Через некоторое время немецкий математик Юлиус Плюккер (1801-1868) включил в проективную геометрию координаты, что позволило ему алгебраизировать ее и доказать многочисленные результаты с аналитической точки зрения.

В результате проективная геометрия составляла особый случай неевклидовой геометрии. Аксиома параллельных прямых не выполнялась (поскольку на проективной плоскости не существовало параллельных прямых), но проективная геометрия отрицала не только аксиому параллельных прямых, но и параметры углов и расстояние (поскольку при проецировании они не сохраняются). Не выполнялся не только пятый, но и четвертый постулаты Евклида (об углах). Поэтому математики не стали рассматривать проективную геометрию как настоящую неевклидову геометрию.

Казавшаяся недостижимой цель заключалась в том, чтобы с нуля построить новую геометрию, которая выполняла бы евклидовы аксиомы, кроме аксиомы параллельных прямых. Поскольку она отрицалась, оставалось два пути: либо отрицать существование параллельных прямых («не существует параллельных прямых»), либо отрицать единственность прямой, параллельной данной, проходящей через точку, не лежащую на ней («существует более одной параллельной прямой»).

Феликс Клейн (1849-1925), учитель Гильберта, проповедовал четкое видение геометрии. Любая геометрия состоит из пространства и группы трансформаций. Для Клейна геометрия заключалась в изучении свойств объектов, которые остаются инвариантными к некоторой группе трансформаций, или предварительно заданных движений. Уверовав в роль проективной геометрии, он доказал, что раз она задана группой проекций — наибольшей группой, — то представляет собой основную геометрию, базирующуюся на минимальном числе начальных гипотез. Все прочие геометрии проистекают из нее, порождая дополнительные гипотезы. Именно так произошло с евклидовой геометрией, которая наследовала все проективные свойства.

Этот тезис он развивал в своей инаугурационной речи, когда в 1872 году заступал на должность главы кафедры Эрлангенского университета.

Феликс Клейн.

Как Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), так и Янош Бойяи (1802-1860) и Николай Лобачевский (1792-1856) приняли существование параллельных прямых и отрицали их единственность: через одну точку, не лежащую на прямой, проходит более одной параллельной прямой. Этим трем математикам удалось вывести достаточный ряд теорем воображаемой геометрии, не столкнувшись ни с абсурдом, ни с каким-либо парадоксом.

Но не ожидали ли они их за углом? Разве можно быть уверенными в том, что пойди они дальше, их выводы не разбились бы о какое-нибудь противоречие? В середине века назрела необходимость в модели этой новой геометрии в рамках евклидова учения, чтобы даже в случае скрытого в ней противоречия она так же оставалась частью почитаемой евклидовой геометрии (что казалось невозможным). С этой позиции можно было раз и навсегда доказать, что справедливость новой геометрии заключается именно в справедливости евклидовой геометрии, которая считалась надежной. Поставленную задачу частично решил Эудженио Бельтрами (1835-1900), предложив в 1868 году локальную модель — псевдосферу. Через два года Клейн открыл первую полноценную модель неевклидовой геометрии.

Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю, потому что она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни.

Письмо, отправленное Фаркашем Бойяи своему сыну Яношу после того, как он узнал, что тот работает над пятым постулатом Евклида

Рассмотрим модель Клейна. Допустим, что наше пространство свелось к внутренности круга (за исключением его краев), и создадим что-то вроде словаря, в котором будет установлено поочередное соответствие ряда терминов — как в обычном двуязычном словаре, в котором значение слов то же. Когда Евклид говорит: «точка», мы думаем о точках внутри этого круга, когда он говорит: «прямая», подразумеваются отрезки, которые начинаются и заканчиваются на краю круга. Такой перевод позволяет построить модель неевклидовой геометрии внутри собственно евклидова пространства. Что происходит с аксиомой параллельных прямых. При заданной прямой r и не лежащей на ней точке А существует более одной прямой, параллельной r, которая проходит через А. Действительно, прямые s и t параллельны прямой r внутри круга, поскольку они никогда не пересекаются в нашем пространстве (см. рисунок 1). Буквально из ничего была создана новая странная вселенная. Евклид был серьезным образом потеснен.

РИС. 1

Сомнения касательно неевклидовой геометрии не рассеялись, даже когда распространились идеи диссертации «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», написанной Бернхардом Риманом (1826-1866). В 1854 году он прочитал ее 80-летнему Гауссу, который не скрыл своего энтузиазма в отношении услышанного, однако опубликована эта работа была лишь после его смерти. Основываясь на исследованиях Гаусса в области дифференциальной геометрии, Риман предположил, что в каждом пространстве может быть определена различная форма измерения расстояния, так что прямая в этом пространстве (которая по определению является «самым коротким путем между двумя точками») не совпадает с имеющимися у нас представлениями о ней. Итоговая особенная кривая, так называемая геодезическая, будет играть в этом пространстве роль, которую прямая линия играет в евклидовой геометрии. Согласно Риману, для евклидова пространства характерна постоянная нулевая кривизна, где есть единственная параллельная прямая (см. рисунок 2 [1]). Но если изменить значение кривизны, мы получим другой тип пространства, который окажется моделью неевклидовой геометрии. Если кривизна отрицательная, мы получим гиперболическую геометрию Гаусса — Бойяи — Лобачевского, где через точку, не лежащую на прямой, проходит более одной параллельной ей прямой [2]. И наоборот, если кривизна положительная, мы получим эллиптическую геометрию, в которой нет параллельных прямых [3].