Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Изучая его вклад, мы вновь переживем это эпическое и страстное приключение в поисках точности, где сошлись великие логики и математики конца XIX — начала XX века: Фреге, Рассел, Кантор, Пуанкаре, Брауэр и Гёдель. Вдохновленные богатством современной им математики, эти ученые задумались о ее природе и целях. В ту пору выделились три тенденции. Логицизм, проявившийся у Фреге и оживленный Расселом, утверждал, что все математические принципы могут быть сведены к логическим законам. Интуиционизм — порождение Пуанкаре и Брауэра — отрицал методы классической математики, которые привели ее к парадоксам. И наконец, формализм, отождествляемый с мыслью Гильберта, стремился полностью аксиоматизировать математику, доказав, что аксиомы никогда не ведут к противоречию.

Гильберт был лидером школы формализма, по сути он отстаивал позицию, что математические рассуждения могут быть представлены аксиоматически, в рамках формальной системы и без какого-либо упоминания о значении символов. Эта ключевая идея позволяла уклониться от любого упоминания о скользкой и парадоксальной бесконечности. Гильберт считал, что все математические теоремы можно вывести на основе одного или более правил посредством символического управления ограниченным числом аксиом, причем за конечное число шагов. Тогда можно было рассматривать математику как игру формул, а проблему доказательства непротиворечивости аксиом — как вопрос конечной сочетаемости, тщательного анализа формул, которые могут быть доказаны в рамках формальной системы, последовательностей символов, производимых системой. Но упорные попытки Гильберта решить этот вопрос, заложить основы математики, не вызывающие никакого рационального сомнения, закончились поражением.

Об австрийском логике Курте Гёделе заговорили, когда в 1931 году он объявил: чтобы доказать непротиворечивость математики, методов Гильберта недостаточно. Теоремы Гёделя о неполноте стали ушатом холодной воды для самого Гильберта и его последователей. Более того, они означали крах его программы. Оказалось, что непротиворечивую устойчивость математики невозможно доказать. Непоколебимая убежденность в том, что математика — самая надежная из наук, вылилась для многих в историческое коллективное разочарование. Математика несет в себе черты неуверенности, случайности и необоснованности, но тем не менее продолжает прогрессировать.

Гильберт олицетворял идеал математика межвоенного поколения. Его влияние прочитывается в современной математике — аксиоматической науке, изучающей абстрактные структуры. Она порвала с математикой прошлого, которая была сосредоточена на числах, формулах и фигурах, изначально ее составлявших.

Давид Гильберт определенно являлся ученым-универсалом, поскольку знал почти все ответвления современной ему математики, и оказался последним представителем этого уже исчезнувшего вида.

1862Давид Гильберт появляется на свет в городе Кёнигсберге, Пруссия.

1880Начинает изучать математику в Кёнигсбергском университете. Зарождается его дружба с Адольфом Гурвицем и в особенности с Германом Минковским.

1888Его первая крупная математическая победа: он решает проблему Гордана в теории инвариантов.

1892Становится ординарным профессором в Кёнигсбергском университете. Женится на Кёте Ерош.

1895Благодаря стараниям Феликса Клейна становится профессором Гёттингенского университета.

1897Публикует «Отчет о числах», сборник актуальных знаний в области алгебраической теории чисел.

1899Публикует «Основания геометрии», в которых представляет все возможные геометрии посредством исключительно аксиоматического метода.

1900Читает знаменитую лекцию «Проблемы математики» на II Международном конгрессе математиков в Париже.

1904Возрождает принцип Дирихле для вариационного исчисления.

1912Собирает в монографию все свои статьи об интегральных уравнениях, используемых физиками того времени, а также набор инструментов развития квантовой механики с 1925 года.

1915Соревнуется с Альбертом Эйнштейном в выведении уравнений поля общей теории относительности.

1922Практически в одиночку вновь пробуждает интерес к основаниям математики, стремясь доказать непротиворечивость классической математики, чтобы нейтрализовать скептицизм интуиционистов.

1928В соавторстве с Вильгельмом Аккерманом публикует «Основы теоретической логики», первый учебник по математической логике в ее современном понимании.

1930Уходит в отставку. Читает оптимистичную лекцию по случаю получения звания почетного гражданина Кёнигсберга, завершая ее лозунгом: «Мы должны знать. Мы будем знать». Курт Гёдель накладывает ограничения на формализм Гильберта на конгрессе, проходящем в то же время.

1934В соавторстве с Паулем Бернайсом публикует первый том «Оснований математики», в который включены некоторые достижения в этой области.

1943Умирает в Гёттингене (Германия) в то время, как своим жестоким чередом идет Вторая мировая война.

Карьера Гильберта пошла вверх, когда он решил хитрую проблему Гордана. Однако молодой ученый отложил алгебру и теорию чисел, чтобы полностью погрузиться в изучение оснований геометрии. Открытие неевклидовых геометрий стало шахом почти 2000-летней греческой геометрии. Переформулирование аксиоматического метода позволило Гильберту навести порядок в этой области и подчеркнуть, что нет единой справедливой геометрии: их много, и каждая обладает различным набором аксиом.

Кёнигсберг, 1862 год. Прошло 58 лет после смерти Иммануила Канта и 120 с тех пор, как Леонард Эйлер (1707-1783) решил знаменитую проблему семи мостов. Давид Гильберт появился на свет 23 января в протестантской семье из среднего класса, которая вот уже два поколения жила в столице Восточной Пруссии. Пруссия в то время возглавила объединение Германии под руководством кайзера Вильгельма I и железного канцлера Отто фон Бисмарка. Отец будущего ученого был городским судьей и прививал сыну типичные прусские ценности: пунктуальность, дисциплину и чувство долга. Мать, наоборот, увлекалась философией, астрономией и, как рассказывают, простыми числами.