Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

В школьные годы Гильберт показал себя упорной, энергичной и решительной личностью, хотя в средней школе страдал от того, что учебный процесс выстраивался на заучивании. Он увлекался искусством, литературой и математикой, однако не считался вундеркиндом. В 1880 году он выдержал экзамен и был зачислен в университет, избрав математику, хотя родители хотели, чтобы он изучал право.

Кёнигсберг — конечно, не Берлин, где развернули свою деятельность преподаватели уровня Карла Вейерштрасса (1815- 1897) и Леопольда Кронекера (1823-1891), но и здесь имелась прочная математическая традиция. Здесь когда-то работал Карл Якоби (1804-1851), считавшийся вторым после Гаусса немецким математиком. Так в каком же научном контексте получал образование Гильберт? В последней четверти XIX века предполагалось, что как дисциплина математика имеет три ответвления: анализ, алгебру и геометрию. Анализ — это исследование все более строгого использования бесконечно малых, решение дифференциальных уравнений и теория функций в целом. Алгебра постепенно перестала походить на предмет, который мы изучали в школе, и занималась уже абстрактными объектами, хотя и не исключала теорию чисел. Геометрия же включала в себя целое семейство плохо согласованных между собой составляющих: евклидову геометрию и неевклидовы геометрии (в том числе проективную), а также дифференциальную и алгебраическую геометрии, в которых использовались инструменты анализа и алгебры.

Любая дисциплина проходит три фазы развития: наивную, формальную и критическую.

Давид Гильберт

Гильберт успешно изучал курсы алгебры, анализа и геометрии. В университете же он познакомился с Германом Минковским (1864-1909), который стал его лучшим другом. Будучи однокурсником Гильберта, он был на два года младше него, он опережал курс на целый триместр. Когда ему только исполнилось 19, он получил гран-при в области математики, которую вручала Парижская академия наук (хотя все прошло не слишком гладко, поскольку заходила речь о плагиате). Друзья обычно прогуливались вместе и восхищенно обсуждали математику. В ходе этих прогулок они исследовали каждый уголок математического знания. Эту традицию студенческих лет они сохранили на всю жизнь.

Получив степень доктора, Гильберт задумался о том, чтобы устроиться на должность приват-доцента, которая позволила бы ему преподавать в университете (пусть даже жалованье не было фиксированным и складывалось в зависимости от количества студентов). Для этого требовалось внести какой-нибудь оригинальный вклад в науку. С этой целью Гильберт отправился на встречу с Феликсом Клейном (1849-1925), одним из знаменитых математиков того времени. Годы спустя Клейн говорил, что сразу же понял: за этим юношей — будущее математики. По его совету Гильберт поехал в Париж, где познакомился с Анри Пуанкаре (1854-1912). Француз был на восемь лет старше Гильберта, но уже состоялся как ученый. Он считался главным представителем французской математики, которая надеялась обойти немцев. В результате Пуанкаре и Гильберт не нашли общий язык, со временем они даже стали открыто соперничать. Тут крылась конкуренция за главенствование в математике будущего (отношения Пуанкаре и Клейна также не были хорошими: у последнего это противостояние даже вылилось в депрессию). На обратном пути Гильберт задержался в Гёттингенском университете и навестил недавно обосновавшегося там Клейна. Тот познакомил его с Паулем Горданом (1837-1912), одним из главных экспертов по теории инвариантов — области, в которой Гильберт добился своего первого большого успеха.

Теория инвариантов представляла собой ответвление алгебры XIX века и рассматривала, какие величины не изменяются (остаются инвариантными), когда мы преобразуем один многочлен в другой в соответствии с определенными правилами. Одна из самых любопытных проблем получила название проблемы Гордана. В 1868 году Гильберт ошарашил современников, предложив революционное решение задачи, которое король теории инвариантов Гордан назвал «теологическим». Гильберту удалось сделать то, к чему уже несколько лет стремились все эксперты по инвариантам: доказать так называемую основную теорему теории инвариантов, в которой утверждается, что любая система инвариантов образована конечным образом (проще говоря, что любой инвариант системы может быть представлен в виде сочетания небольшого количества инвариантов, образующих базис). Эту задачу не назовешь пустяковой.

Однако нас интересует не ее содержание, а форма ее доказательства Гильбертом, поскольку это поможет представить путь развития его исследовательской карьеры. Как и в других областях математики, Гильберт разработал множество элементов, составивших новый подход. В данном случае он структурный алгебраический, сосредоточенный на структурах математических объектов в большей степени, чем на собственно математических объектах, а на группах, идеалах, кольцах и телах (алгебраических структурах) — в большей степени, чем на самих числах или конкретных многочленах, которые они содержат. Не осознавая этого, Гильберт готовил абстрактную алгебру XX века и мимоходом утвердил новый математический метод, знаменосцем которого стал позже.

Подход Гильберта разительно отличался от традиционного. Вместо того чтобы открыто искать решение проблемы, он доказал: проблема не может не иметь решения. Его доказательство было не конструктивным, а экзистенциальным. Он не предлагал решения напрямую («вот базис инвариантов»), а только доказывал, что оно обязательно должно быть («если бы не было базиса инвариантов, мы бы пришли к противоречию»). Следовательно, доказательство основной теоремы осуществлялось путем доведения до абсурда. Эта аргументация не была единодушно принята математическим сообществом.

Кронекер — одна из главных фигур немецкой математики того времени — высказался в этом отношении довольно резко. По слухам, подход Гильберта многим показался «зловещим». Для Кронекера доказательство существования обязательно означало построение того объекта, существование которого требовалось доказать. В данном случае это построение базиса инвариантов, которое, по утверждению Гильберта, существует. Он не принимал аргументов, что отсутствие существования базиса предполагает противоречие, следовательно, данный базис обязательно должен существовать, хотя его вычисление неосуществимо.

Чтобы понять разницу, рассмотрим пример. Если вопрос заключается в том, имеет ли уравнение х 2- 1 = 0 решение, у нас есть два варианта. Первый — найти решение с помощью вычислений и алгебраических манипуляций: х = 1 и х = -1. Второй — попытаться ответить косвенно: задействовав некую теорему, показать, что уравнение имеет решение, хотя мы не можем его найти. Естественно, второй путь оказывается эффективнее, когда математик сталкивается с намного более сложными проблемами, чем решение простого уравнения второй степени. Очень часто в уравнениях высшей степени легче доказать существование решения, чем найти его.