Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Эта характеристика является общей для многих математических проблем. Евклид доказал, что существует бесконечное количество простых чисел без необходимости перечислять их все. Он выстраивал свое рассуждение путем доведения до абсурда. Первый шаг в таком доказательстве состоит в том, чтобы отрицать высказывание, которое нужно доказать. Чтобы доказать, что существует бесконечное количество простых чисел, Евклид предположил, что их число конечное: р 1р 2,... Р n. На основе этого предположения он делал выводы, пока не пришел к абсурдному утверждению. Если предположить, будто есть только n простых чисел, то либо число р 1х р 2х ... х р n+ 1 (образованное произведением их всех плюс один) является простым, либо не является. В первом случае отмечается противоречие, поскольку это новое простое число не является ни одним из партии. Во втором случае, если это не простое число, оно должно делиться на простое число, но ни одно из чисел р 1, р 2,... р nявно не является его делителем (деление неточное, оно дает 1 в остатке). И тут мы вновь сталкиваемся с противоречием. Следовательно, гипотеза, что существует конечное количество простых чисел, ложная: их должно быть бесконечное количество (хотя мы не можем определить их по одному). Доведение до абсурда, которое так любили Евклид и Гильберт, — один из лучших математических инструментов.

Гильберт опубликовал статью в 1890 году в журнале Mathematische Annalen, который издавал Клейн. Рецензентом выступил сам Гордан, и хотя вначале он потребовал внесения существенных изменений, в итоге признал революционный подход Гильберта. Работы Гордана составляли ужасно длинные и сложные вычисления, они контрастировали с краткой, элегантной и лаконичной статьей Гильберта, в основе которой лежало доведение до абсурда. Однако потребовалось решительное вмешательство Клейна, чтобы примирить их, поскольку Гильберт не желал трогать ни единой запятой в своей статье. В конце концов Гордан признал, что даже у теологии есть свое применение.

Гильберт бросил вызов и выиграл у тех, кто настаивал, будто математические доказательства должны базироваться на методе, рассматривающем сущности, наличие которых нужно доказать. Он доказал, что предположение о ложности гипотезы Гордана («существует базис инвариантов») ведет к противоречию. Этого было достаточно. Много лет спустя Гильберт объяснял своим студентам разницу между конструктивными доказательствами и теми, которые таковыми не являются (экзистенциальными), подчеркивая, что в аудитории есть кто-то, у кого на голове волос меньше, чем у других (никто из присутствующих не был абсолютно лысым), хотя мы не располагаем никаким способом выявить этого человека.

Это не математика! Это теология!

Гордан после ознакомления с доказательством Гильберта

На кон было поставлено не только будущее теории инвариантов (область исследования, которую Гильберт практически закрыл), но и нечто большее — противостояние двух подходов к математике: конструктивного — характерного для XIX века — и экзистенциального, свойственного XX столетию (когда слово «существовать» имело лишь одно значение: быть лишенным противоречия). Экзистенциальный подход Гильберта в дальнейшем обеспечил ему многие победы и многие споры.

Наконец, в 1892 году усилия Гильберта увенчались успехом, и он получил должность ординарного профессора Кёнигсбергского университета. Несмотря на то что в итоге он стал блестящим преподавателем, в начале его лекции едва привлекали студентов.

Вавилоняне, египтяне и греки решали уравнения первой и второй степени, используя различные алгебраические техники. Следы греческой геометрической алгебры заметны по выражениям вроде «квадрат» и «куб» для второй и третьей степеней: «а в квадрате» — это квадрат со стороной а, а «а в кубе» — это куб с ребром а. Введение нового символьного аппарата (Диофант, Аль-Хорезми, Виет) определило настоящий прорыв в развитии алгебры и ее последующее отделение.

В эпоху Возрождения Тарталья (по- итальянски «заика») вывел формулу для решения уравнений третьей степени, но предпочел держать ее в секрете. Астролог и математик Джероламо Кардано убедил его открыть ее и затем опубликовал, выдавав за свою. Лодовико Феррари, бывший секретарь Кардано, получил другую формулу для решения уравнений четвертой степени, однако решение в радикалах полиномиального уравнения пятой степени им не далось. Через 300 лет Абель доказал, что это невозможно.

Гаусс в возрасте 52 лет. Литография из журнала «Астрономические новости», 1828 год.

Чтобы больше узнать о рождении современной алгебры, следует обратиться к докторской диссертации Гаусса, которую тот защитил в 1797 году. Гениальный Гаусс доказал то, что сегодня известно как основная теорема алгебры: любое полиномиальное уравнение степени п имеет ровно п решений среди комплексных чисел. Хотя этот результат допускал Декарт (различая действительные и мнимые корни), а также со множеством ошибок доказал Д’Аламбер, только доказательство Гаусса было исчерпывающим. Его работа радикально изменила облик алгебры. Именно этот долгий путь Гильберта сквозь теорию инвариантов определил Nullstellensatz, или теорему о нулях, — мощный результат, обобщивший основную теорему алгебры для того случая, когда вместо уравнения имеется система алгебраических уравнений.

Гильберт не впадал в отчаяние и расценивал этот период как процесс медленного, но стабильного созревания. Тогда же он женился на Кёте Ерош (его любимой партнерше по танцам), с которой был знаком с детства. Через год родился их единственный сын Франц, у которого еще в детстве проявилось серьезное умственное заболевание. Когда у юноши диагностировали шизофрению, отец поместил его в лечебницу для душевнобольных, где тот провел значительную часть своей жизни. С тех пор Гильберт держался так, будто у него никогда не было сына.

В 1895 году он кардинально изменил свою жизнь. В конфиденциальном письме его уведомили о назначении — по рекомендации Клейна — профессором престижного Гёттингенского университета, где до того работали два таких колосса математики, как Гаусс и Риман. Его не пришлось упрашивать, он переехал и никогда не покидал Гёттинген.

Между тем с теории инвариантов Гильберт уже переключился на теорию чисел — типично немецкую дисциплину с тех пор, как Гаусс опубликовал «Арифметические исследования» (1801) и назвал ее царицей математики. Немецкое математическое общество (основанное в 1890 году под председательством Георга Кантора (1845-1918)) поручило Гильберту и Минковскому разработать отчет о состоянии вопроса. Минковский сразу отказался, сославшись на занятость, зато Гильберт сделал намного больше, чем от него ожидали. Результатом была жемчужина математической литературы, ставшая в дальнейшем классикой в этой области знания, — Der Zahlbericht («Отчет о числах»), датированная 10 апреля 1897 года. В этой работе Гильберт объединил все имеющиеся данные, организовав их с новой точки зрения, переписал формулировки и доказательства. Он не только перераспределил детали головоломки, которую представляла собой алгебраическая теория чисел, но и заполнил лакуны оригинальными исследованиями. В предисловии к отчету он писал: