Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Одно из возражений, предъявленных Кантору тогда, состояло в том, что ординальных чисел просто-напросто не существует.

Каждый раз, прибавляя целый класс ординальных чисел, мы переходим к следующему кардинальному.

В ответе Кантор опирался на свою философию математики, в соответствии с которой любой объект, получивший определение от математика, существует по той простой причине, что его определили, с одним лишь условием, что это определение не должно вести к логическим противоречиям. Но верно ли то, что свойства ординальных чисел не ведут к противоречиям? Вернемся ко второму принципу порождения: если дана любая последовательность ординальных чисел, то всегда будет еще одно ординальное число, большее, чем все ее составляющие. В свете этого принципа, если мы берем последовательность, состоящую из всех ординальных чисел, то должно быть еще одно ординальное число, большее, чем все они. Но как может существовать еще один ординал, если все они уже входят в последовательность? Мы сталкиваемся с логическим противоречием. Кантор обнаружил его в 1882 году.

Дабы разрешить это противоречие, в статье 1883 года он ввел третий принцип порождения ординалов, по которому второй принцип не может применяться к последовательности всех ординальных чисел. Это была своеобразная «заплатка», чтобы устранить парадокс.

Логические противоречия в математической теории — всегда плохой признак, так как они свидетельствуют об ошибке в самом ее основании. И хотя в данном случае парадокс можно было решить, как это Кантор и сделал, добавив третий принцип, само его появление служит сигналом тревоги. Однако ученый не выказал волнений по этому поводу — напротив, принял это с облегчением и радостью.

В одной из статей, опубликованных в Acta Mathematica, Кантор предлагал определение множества, описывающего последовательные переходы. При первом переходе имеется отрезок, который мы определим как множество всех вещественных чисел между 0 и 1. При втором переходе отрезок делится на три равные части и центральная (вторая строка на рисунке) убирается. При третьем переходе мы повторяем этот процесс для каждой из оставшихся частей, делим их натрое, убираем среднюю часть и так далее. Канторово множество состоит из всех точек, оставшихся после бесконечного количества переходов. На первый взгляд может показаться, что не осталось ни одной точки, однако Кантор смог доказать существование взаимно однозначного соответствия между троичным множеством и множеством всех вещественных чисел. Другими словами, исходя из понятия мощности, после бесконечных переходов останется столько точек, сколько их существует на всей прямой.

Уже говорилось, что Святой Августин и ряд богословов считали бесконечность исключительно божественной характеристикой, а попытки человеческого разума понять ее — ересью. Эта мысль терзала Кантора, который всегда был религиозен. Но парадокс — таким, как понимал его он, — освобождал его от этого груза.

Кантор разделил бесконечное на два уровня: нижний относится к трансфинитному и включает в себя множества натуральных, вещественных, ординальных чисел класса I, II, III,... и все понятия его теории, за исключением множества всех ординальных чисел. Последнее находилось на абсолютном уровне бесконечности, которое относилось к сфере божественного.

Кантор считал, что человеческий разум может постичь трансфинитное. Но возникающий парадокс указывал на то, что абсолютный, божественный, уровень — выше его способностей. Он появляется не из-за ошибки в теории, а из-за попытки человека удержать понятие, которое превосходит его умственные возможности. Так, оставляя уровень бесконечности Богу, Кантор — в первую очередь человек, а потом уже математик — смог успокоить свою религиозную совесть. И если говорить о логических нестыковках в теории Кантора, многие математики, в том числе и его сторонники, не соглашались с подобной интерпретацией парадоксов.

Было бы наивно предположить, что «бесконечность плюс бесконечность» даст просто «бесконечность» и к ней нельзя ничего добавить. Однако во второй половине 1890-х годов Георг Кантор опубликовал статью, в которой ввел обозначение для бесконечных кардинальных чисел — букву «алеф» еврейского алфавита. С ее помощью он создал «арифметику бесконечности», которая показала, что вопрос «сложения бесконечности и бесконечности» требует более пристального рассмотрения.

В первой половине XX века немецкий физик Макс Планк (1858-1947) писал:

«Новая научная истина торжествует не потому, что ее противники признают свою неправоту Просто ее оппоненты со временем вымирают, а подрастающее поколение знакомо с нею с самого начала».

Планк имел в виду квантовую механику — теорию, которая произвела революцию в физике XX века, но это замечание прекрасно подходит и для теории Кантора. Действительно, многие математики поколения, родившегося в последние десятилетия XIX века, далекие от предрассудков своих старших коллег, видели в теории бесконечности интересный и стимулирующий потенциал. Одним из самых известных сторонников Кантора был Давид Гильберт, блестящий немецкий математик, родившийся в 1862 году. Когда в начале XX века в теории бесконечности были обнаружены парадоксы и многие из тех, кто сначала верил в нее, начали сомневаться, Гильберт стал главным защитником идей Кантора.

В 1900 году Гильберт был приглашен на конференцию, посвященную открытию Второго международного конгресса математиков в Париже. Это было свидетельством признания его академических заслуг.

На знаменитой конференции Гильберт представил 23 задачи, которые не могли быть решены на тот момент и которые, как он полагал, задали бы направление развитию математики в XX веке. Первым пунктом списка значилась задача, в которой требовалось подтвердить или опровергнуть континуум- гипотезу (напомним, она была сформулирована Кантором в 1878 году, и согласно ей между мощностью множеств натуральных и вещественных чисел отсутствует промежуточная).

Благодаря новому поколению математиков, к 1890 году теория множеств и теория бесконечности не только оказались приняты, но и стали основой многих новых областей математики, появившихся в те годы. Прежде всего, понятия теории множеств, в частности различия между счетными и несчетными множествами, являются фундаментальными в теории меры — обобщении исчисления, созданном в последние годы XIX века французскими математиками Эмилем Борелем (1871-1956) и Анри Лебегом (1875-1941). Также они имеют основополагающее значение в топологии — еще одной обобщенной теории исчисления, которая зародилась в тот же период в работах другого французского математика Анри Пуанкаре (1854-1912) (хотя впоследствии из-за большого количества вскрытых парадоксов Пуанкаре стал одним из противников теории множеств).