Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Для всякого уравнения, содержащего x и у, те точки ( x, у ), в которых значения x и у удовлетворяют заданному уравнению, представляют собой некоторый график. Например, каждая из точек (0, 0), (1, 1), (2, 2) и (3, 3) удовлетворяет нашему первому уравнению, у = x. Если мы нанесем все эти точки на график, то станет ясно, что уравнение у = x порождает прямую линию. Подобным же образом можно изобразить второе из приведенных выше уравнений, у = 3 х - 2. Выбирая значение x и затем выясняя, чему равен у, мы устанавливаем, что точки (0, -2), (1, 1), (2, 4) и (3, 7) лежат на линии, описываемой данным уравнением. Это тоже прямая, пересекающая ось у в точке -2:

Если мы наложим одну из наших прямых на другую, то увидим, что они пересекаются в точке (1, 1). Таким образом, мы видим, что решение системы уравнений — это координаты точки пересечения двух прямых линий, описываемых этими уравнениями.

Мысль о том, что уравнения можно выразить в виде линий, представляла собой радикальное новшество, предложенное Декартом в его книге «La Geometrie». Введение Декартовой системы координат носило революционный характер, потому что в ней соединились до того никак не связанные области: алгебра и геометрия. Впервые оказалось, что два различных раздела знания не только связаны между собой, но и являются альтернативными представлениями друг друга. Одна из задач, которые ставил перед собой Декарт, состояла в том, чтобы сделать и алгебру, и геометрию доступнее для понимания, потому что, как он заметил, взятые по отдельности, «они простираются лишь в области весьма абстрактных вещей, с виду не представляющих никакого практического интереса, — геометрия всегда настолько привязана к исследованию фигур, что понимания в ней невозможно добиться без чрезвычайного напряжения воображения, в то время как алгебра до такой степени подчинена всяческим правилам и числам, что превратилась в запутанное и замутненное искусство, которое подчиняет себе ум, вместо того чтобы быть наукой, способствующей развитию ума». Декарт не питал особой склонности к перенапряжению. Он вошел в историю как любитель позднего вставания, прославившись тем, что предпочитал при всякой возможности оставаться в кровати до полудня.

Выполненное Декартом соединение алгебры и геометрии — это мощный пример взаимодействия между абстрактными идеями и пространственным воображением, и это взаимодействие стало с тех пор постоянным сюжетом в математике. Многие из наиболее впечатляющих доказательств в алгебре — включая доказательство Великой теоремы Ферма — опираются на геометрию. Подобным же образом, получив алгебраическое описание, геометрические задачи, история которых составляет до двух тысяч лет, зажили новой жизнью. Одно из наиболее восхитительных свойств математики как раз и выражается в том, как различные с виду предметы оказываются связаны между собой, что приводит к новым неожиданным открытиям.

В 1649 году Декарт по приглашению шведской королевы Кристины перебрался в Стокгольм, дабы исполнять обязанности ее личного наставника. Королева была ранней пташкой. Необходимость вставать в 5 утра, помноженная на отсутствие привычки к скандинавской зиме, привела к тому, что вскоре после приезда Декарт заболел воспалением легких и умер.

Одним из наиболее очевидных следствий из Декартова озарения, заключавшегося в том, что уравнения, связывающие x и y, можно выражать в виде линий, было осознание того факта, что различные типы уравнений дают при этом различные типы линий. Мы можем начать их классификацию прямо с наших уравнений.

Уравнения, подобные у = x и у = 3 х - 2, содержащие только x и у, всегда дают прямые линии.

Напротив, уравнения, содержащие квадратичные члены — то есть те, которые включают выражения х 2 и/или у 2, — всегда дают кривые одного из следующих четырех типов: окружность, эллипс, парабола или гипербола.

Тот факт, что всякую окружность, эллипс, параболу и гиперболу, нарисованные на плоскости, можно описать уравнением, квадратичным по x и у, крайне полезен для науки по той причине, что эти кривые присутствуют в реальном мире. Парабола — это траектория объекта, брошенного в воздух (в пренебрежении сопротивлением воздуха и в предположении однородного гравитационного поля). Когда футболист бьет по мячу, летящий мяч тоже описывает параболу. Эллипсы — это кривые, по которым планеты движутся вокруг Солнца, а траектория, по которой движется в течение дня тень, отбрасываемая самым кончиком гномона солнечных часов, — это гипербола.

Рассмотрим следующее квадратичное уравнение, которое на самом деле подобно машине для рисования окружностей и эллипсов:

где а и b — некоторые постоянные. У этой машины два рычажка, один из которых управляет буквой a , а другой — буквой b. Подбирая значения a и b, мы можем по своему желанию нарисовать любую окружность и любой эллипс с центром в точке 0.

Например, когда a совпадает с b, получающееся уравнение описывает окружность радиуса a. Когда а = b = 1, уравнение принимает вид х 2 + y 2 = 1 и получается окружность радиуса 1 — «единичная окружность», как та, что нарисована слева на рисунке. Если же а и b — различные числа, то уравнение описывает эллипс, который пересекает ось x в точке а и ось у в точке b. Например, кривая справа — это эллипс, для которого а = 3 и b = 2.

В 1818 году французский математик Габриель Лямэ, размышляя над формулой для окружности и эллипса, задался таким вопросом: что будет, если «подкручивать» не значения a и b, а показатели степени?

Эффект оказался восхитительным. Рассмотрим, например, уравнение х n + у n = 1. При n = 2, как мы видели, оно порождает единичную окружность. А вот кривые, получаемые при n = 2, n = 4 и n = 8:

Когда n равно 4, кривая выглядит как окружность, стиснутая при запихивании в квадратный ящик. Ее стороны уплощаются, но остаются четыре скругленных угла. Как будто окружность пытается стать квадратом. Когда n равно 8, получающаяся кривая еще более походит на квадрат.