Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Прогресс в математических обозначениях сделал возможным открытие новых концепций. Невероятно важным изобретением стали логарифмы , придуманные в начале XVII столетия выдающимся шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) — бароном, восьмым лэрдом Мерчинстона, который, впрочем, прижизненно был куда более знаменит своими работами по теологии. Непер написал имевшую огромный успех книгу — толкование Апокалипсиса, — где утверждал, что папа есть Антихрист, и предсказывал, что конец света наступит между 1688 и 1700 годами. По вечерам он любил облачаться в длинное платье и разгуливать за пределами своего родового замка, что немало способствовало его репутации чародея. Кроме того, он экспериментировал с удобрением почвы на своих обширных владениях близ Эдинбурга, а также предложил несколько изобретений, касающихся военной техники, например металлическую колесницу, движимую находящимися внутри нее воинами, которые будут «поражать врагов во все стороны через маленькие отверстия в корпусе колесницы», и устройства для «плавания под водой, с ныряльщиками и иными хитрыми приспособлениями для внезапного нападения на врага» — предшественников танка и субмарины. Занимаясь математикой, Непер популяризировал применение десятичной запятой, а кроме того предложил идею логарифмов, изобретя и сам термин как производное от греческих слов logos и arithmos — «относительное число».

Пожалуйста, не пугайтесь, прочитав следующее определение: логарифм числа есть показатель степени в выражении данного числа в виде степени числа 10. Логарифмы проще понять, если выразить их алгебраически: если а = 10 b, то логарифм числа а равен b. Итак:

lg 10 = 1 (потому что 10 = 10 1),

lg 100 = 2 (потому что 100 = 10 2),

lg 1000 = 3 (потому что 1000 = 10 3),

lg 10 000 = 4 (потому что 10 000 = 10 4).

Нахождение логарифма числа — дело самоочевидное, если число это выражено как произведение десяток. Но как быть, если надо найти логарифм числа, которое не есть произведение десяток? Например, каков логарифм числа 6? Логарифм числа 6 — это число, показывающее, сколько раз 10 надо умножить само на себя, чтобы в результате получилось 6. Однако же кажется совершенно лишенным смысла говорить о том, что умножение числа 10 само на себя определенное число раз даст 6. Как можно умножить 10 само на себя дробное число раз? Конечно, вся идея и правда лишена смысла, когда мы пытаемся себе представить, что она могла бы означать в реальном мире, но мощь и красота математики в том и состоят, что нет нужды беспокоиться о каком бы то ни было смысле, выходящем за пределы алгебраических определений.

Логарифм числа 6 равен 0,778 с точностью до трех десятичных разрядов. Другими словами, когда мы умножим 10 само на себя 0,778 раз, мы получим 6 [37] Может быть интересно оценить ошибку, связанную с ограничением тремя цифрами после запятой: 10 0,778 = 5,9979. Разумеется, дело не в идее логарифмов, а в выбранной точности; повышая точность, получаем, например, 10 0,7781512304 = 6,000000000225971… ( Примеч. перев. ) .

Приведем список логарифмов чисел от 1 до 10, оставляя в каждом логарифме по три десятичных знака:

lg 1 = 0

lg 2 = 0,301

lg 3 = 0,477

lg 4 = 0,602

lg 5 = 0,690

lg 6 = 0,778

lg 7 = 0,845

lg 8 = 0,903

lg 9 = 0,954

lg 10 = 1,000

Так в чем же суть логарифмов? Логарифмы превращают более сложную операцию умножения в более простую — сложение. Точнее говоря, умножение двух чисел эквивалентно сложению их логарифмов. Если X × У = Z , то lg X + lg Y = lg Z .

Проверим это, используя приведенную таблицу значений:

3 × 3 = 9

lg 3 + lg 3 = lg 9

0,477 + 0,477 = 0,954

Еще раз:

2 × 4 = 8

lg 2 + lg 4 = lg 8

0,301 + 0,602 = 0,903

Поэтому для того, чтобы перемножить два числа, можно использовать следующий метод: превратим заданные числа в их логарифмы, сложим эти логарифмы, а полученный «третий» логарифм снова превратим в число. Чему, например, равно 2 × 3? Находим логарифмы чисел 2 и 3, равные 0,301 и 0,477, и, складывая их, получаем 0,788. Как мы видели из приведенного списка значений логарифмов, 0,788 есть логарифм числа 6. Итак, ответ равен 6.

Теперь умножим 89 на 62.

Прежде всего нам надо найти их логарифмы. Для этого можно воспользоваться калькулятором или Гуглом. До последних десятилетий XX столетия, впрочем, единственный способ сделать это состоял в том, чтобы найти соответствующие значения в таблицах логарифмов.

Логарифм числа 89 равен 1,949 с точностью в три десятичных разряда. Логарифм числа 62 равен 1,792.

Сумма логарифмов составляет 1,949 + 1,792 = 3,741.

Число, логарифм которого равен 3,741, есть 5518. Это опять же можно выяснить, воспользовавшись таблицами логарифмов.

Итак, 89 × 62 = 5518.

Существенный момент состоит в том, что единственное вычисление, которое нам пришлось сделать, чтобы узнать результат умножения, состояло в простом сложении.

Логарифмы, писал Непер, способны освободить математиков от «тяжелых затрат времени» и «ошибок, закрадывающихся при выполнении умножения, деления и извлечения квадратных и кубических корней из больших чисел». С появлением изобретения Непера оказалось возможным не только свести умножение чисел к сложению их логарифмов. Деление чисел превратилось в вычитание их логарифмов, вычисление квадратного корня стало делением на два, а вычисление кубического корня — делением на три.

Удобства, предоставляемые логарифмами, сделали их самым значительным математическим изобретением XVII века. Наука, торговля и промышленность получили от них колоссальную пользу. Например, немецкий астроном Иоганн Кеплер, используя логарифмы, почти мгновенно вычислил орбиту Марса. Не так давно высказывалось мнение, что он, возможно, никогда не пришел бы к открытию своих трех законов небесной механики без упрощения вычислений за счет использования неперовских логарифмов.

В написанной в 1614 году книге «Описание восхитительных таблиц логарифмов» Непер использовал вариант логарифмов, слегка отличный от того, каким пользуются в современной математике. Логарифмы можно выражать как степень любого числа, которое называется в этом случае основанием. Система Непера основывалась на неоправданно сложном основании 1 - 10 -7(после чего он умножал на 10 7). Генри Бриггс — современник Непера и ведущий английский математик того времени — приехал в Эдинбург, чтобы поздравить шотландца с его открытием. Бриггс пошел дальше Непера и упростил систему, введя логарифмы по основанию десять — они стали известны как логарифмы Бриггса, или просто десятичные логарифмы, и именно они приобрели самое широкое распространение. (В данной главе под «логарифмами» я понимаю именно десятичные логарифмы.) В 1617 году Бриггс опубликовал таблицы логарифмов всех чисел от 1 до 1000 с точностью в восемь десятичных разрядов. К 1628 году Бриггс и голландский математик Адриан Флакк расширили таблицы логарифмов до 100 000 с точностью в десять десятичных разрядов. Проведенные ими вычисления требовали упорного численного счета — при том, что после единственной ошибки в вычислении его надо было начинать сначала.