Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Если нанести числа от 1 до 10 на линейку, расположив их в соответствии со значениями их логарифмов, то получится приведенная ниже картина, которую можно продолжить, скажем, до 100:

Получилась так называемая логарифмическая шкала. В этом масштабе числа по мере их возрастания располагаются все ближе и ближе друг к другу.

Некоторые измерительные шкалы являются логарифмическими — каждый шаг от одного значения к следующему на такой шкале представляет десятикратное увеличение соответствующего значения. Самая широко применяемая из них — это шкала Рихтера, по которой измеряются амплитуды волн, записанных сейсмографом. Землетрясение в 7 баллов по шкале Рихтера означает амплитуду колебаний в десять раз большую, чем для землетрясения в 6 баллов.

В 1620 году английский математик Эдмунд Гантер впервые нанес логарифмическую шкалу на линейку. Он заметил, что использование пары циркулей и его логарифмической линейки позволяет умножать числа, не обращаясь к таблицам логарифмов; если циркуль установлен на значении 1 слева и на значении а справа, то при переносе левой иглы циркуля в любое число b окажется, что правая игла стоит на числе а × b. На рисунке показан циркуль, поставленный на 2, а затем перенесенный так, что его левая игла стоит на 3; правая при этом оказывается на отметке 2 × 3 = 6.

Гантеровское умножение 2 × 3 = 6

Прошло немного времени, и англиканский священник Уильям Отред усовершенствовал идею Гантера. Он отказался от циркуля, предложив вместо этого использовать две деревянные линейки с нанесенными на них логарифмическими шкалами, скользящие одна вдоль другой, — получилась «логарифмическая линейка». Это вычислительное устройство поистине фантастическое по своей гениальности, и несмотря на то, что в наши дни оно выглядит пережитком прошлого, у него есть свои истовые поклонники. К одному из них — Питеру Хоппу — я заехал в гости в его родной городок в 40 милях от Лондона. «Между 1700-ми годами и 1975 годом все без исключения инновации в технике совершались с помощью логарифмической линейки», — сказал он мне, встречая меня на станции. Хопп — инженер-электрик на пенсии — необычайно любезный человек с клочковатыми бровями, голубыми глазами и роскошными бакенбардами. Он показал мне свою коллекцию логарифмических линеек, одну из самых больших в мире, содержащую более тысячи этих позабытых героев нашего научного прошлого. По дороге к его дому мы обсуждали с ним коллекционирование. Хопп заметил, что все самое лучшее продается на интернет-аукционах, и конкуренция приводит к взвинчиванию цен. А редкая логарифмическая линейка, сказал он, легко может стоить более тысячи долларов.

Когда мы добрались до его дома, миссис Хопп предложила нам чаю, а потом мы удалились в его кабинет, где он показал мне деревянную логарифмическую линейку 1970-х годов, изготовленную фирмой «Faber-Castell», с пластиковым покрытием цвета магнолии. Она ничем не отличалась от обычной 30-сантиметровой линейки, только внутри нее имелась подвижная средняя часть. На ней очень тонким шрифтом были нанесены несколько различных шкал. Кроме того, имелся прозрачный подвижный бегунок с рисками. Вид этого изделия фирмы «Faber-Castell» и то, каково оно было на ощупь, вызывало глубокие ассоциации с послевоенной докомпьютерной эрой чудаков-зубрил, когда занудничающие умники ходили в рубашках и галстуках и носили в карманах пластиковые пеналы, набитые ручками, — не то что нынешние, в футболках и кедах, с айподом в руках.

Я ходил в британскую младшую и среднюю школу в 1980-х годах, когда логарифмическими линейками уже больше не пользовались, так что Хопп прочитал мне краткий вводный курс. Он посоветовал, чтобы я, как начинающий, использовал шкалу от 1 до 100 на основной линейке и соседнюю с ней шкалу от 1 до 100 на подвижной средней части.

Умножение двух чисел с помощью логарифмической линейки — операция совсем не сложная, при этом даже не требуется понимать, что такое логарифмы. Пусть, например, я собираюсь умножить 4,5 на 6,2. Мне надо сложить длину, отмеченную как 4,5 на одной линейке, с длиной, отмеченной как 6,2 на другой. Для этого я сдвигаю среднюю подвижную часть линейки так, чтобы 1, нанесенная на ней, совпала с точкой 4,5 на основной линейке. Результат этого умножения находится в точке на основной линейке, стоящей напротив числа 6,2 на средней линейке. Все понятно из рисунка:

Прозрачный курсор с рисками помогает разглядеть, как именно соотносятся две шкалы. Проследив от точки 6,2 на подвижной средней линейке, можно увидеть, что на основной линейке это будет соответствовать отметке, лишь немного не доходящей до 28, что и представляет собой правильный ответ. Логарифмические линейки не являются прецизионными устройствами. Однако, говорит Хопп, несмотря на отсутствие прецизионности, логарифмические линейки, как правило, оказывались достаточно точными для инженерных задач.

Я использовал на логарифмической линейке шкалу от 1 до 100. Кроме того, там нанесены шкалы от 1 до 10, которые применяются при расчетах, требующих большей точности, потому что при такой шкале между нанесенными на линейку числами остается больше места. По этой причине при пользовании логарифмической линейкой лучше переписать подлежащее вычислению выражение так, чтобы в него входили числа между 1 и 10 — это можно сделать, перенеся десятичную запятую. Например, мы хотим умножить 4576 на 6231 — превратим это в умножение чисел 4,576 и 6,231. А получив ответ, перенесем десятичную запятую на шесть разрядов обратно направо. Имея входное значение 4,576 и выравнивая его с числом 6,231, получаем примерно 28,5, что означает, что ответ в задаче об умножении 4576 × 6231 составляет около 28 500 000. Совсем не такая плохая оценка. Точный ответ, вычисленный с использованием таблиц логарифмов, равен 28 513 056. Как правило, логарифмическая линейка, подобная линейке фирмы «Faber-Castell», дает точность в три значащие цифры — а нередко только это и требуется. Но там, где я проиграл в точности, я выиграл в скорости — это вычисление заняло у меня менее пяти секунд. Использование таблиц логарифмов потребовало бы в десять раз больше времени.

Самый старый экземпляр в коллекции Питера Хоппа — это деревянная логарифмическая линейка начала XVIII века, которую использовали сборщики налогов для вычисления объема спиртных напитков. До моей встречи с Хоппом я весьма скептически относился к коллекционированию логарифмических линеек как к интересному времяпрепровождению. Марки и окаменелости, по крайней мере, бывают красивыми; логарифмические же линейки — это чисто функциональные устройства, созданные с целью облегчения вычислений. Но старинная логарифмическая линейка Хоппа определенно была красивой — из превосходного дерева, с изящно нанесенными цифрами.