Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Кажется, все просто, но в действительности это не так. В древние времена и греки, и римляне, и индийцы увлекались азартными играми. Но ни один из этих народов не попытался понять, как математические законы управляют случайностью. В Риме, например, подбрасывание монеты использовали как средство разрешения споров: выпадение стороны с изображением Юлия Цезаря означало, что император поддерживал предлагаемое решение. Случайность воспринималась не как случайность, а как выражение божественной воли. На протяжении всей своей истории человечество демонстрировало недюжинное воображение, изобретая различные способы анализа случайных событий. Например, предсказание по книгам представляло собой испрошение о наставлении посредством случайного выбора отрывка из некоторого литературного произведения. Точно так же, согласно Библии, вытягивание более короткой соломинки было объективным способом выбора, коль скоро Господь уже определил, чему должно случиться: «В полу бросается жребий, но все решение его — от Господа» ( Притч., 16:33 ).

Предрассудки представляли собой мощный тормоз на пути научного подхода к вероятности, но не прошло и тысячи лет, в течение которых люди бросали кости, как мистицизм все-таки удалось преодолеть, чему во многом поспособствовала одна из самых сильных человеческих страстей — стремление к финансовой выгоде. И Джероламо Кардано был первым, кто сумел обуздать фортуну. Существует мнение, что открытие теории вероятностей даже оказало определяющее влияние на упадок религии и затухание предрассудков в течение нескольких последних столетий. Если непредсказуемые события подчиняются математическим законам, то нет нужды в их божественном объяснении. Наступление секуляризации в мире обычно связывают с мыслителями, подобными Чарльзу Дарвину и Фридриху Ницше, однако вполне возможно, что первым, кто толкнул камень и привел в движение всю лавину, был Джероламо Кардано.

Как я уже говорил, вероятность получить шестерку при бросании одной кости равна 1/ 6. Бросим вторую кость; шанс получить шестерку снова равен 1/ 6. Каковы шансы получить пару шестерок при бросании пары костей? Самое основное правило теории вероятностей состоит в том, что вероятность наступления двух независимых событий равна вероятности первого, умноженной на вероятность второго. При бросании пары костей исходы, относящиеся к первой кости, не зависят от исходов, относящихся ко второй кости, и наоборот. Таким образом, шанс появления двух шестерок равен 1/ 6× 1/ 6, что есть 1/ 36. Это можно увидеть, перебирая все возможные комбинации выпадения двух костей: имеется 36 равновероятных исходов, лишь один из которых представляет собой две шестерки.

Если посмотреть на это с другой стороны, то из 36 возможных исходов 35 не представляют собой выпадание двух шестерок. Таким образом, вероятность невыпадания двух шестерок равна 35/ 36. Вместо того чтобы перебирать 35 примеров, можно с равным успехом начать с полного набора исходов, а затем вычесть случаи, когда выпадают две шестерки. В нашем примере это вычисление выглядит как 1 - 1/ 36= 35/ 36. Итак, вероятность того, что некоторое событие не случится, равна 1 минус вероятность, что это случится.

В давние времена стол для игры в кости заменял собой игровые автоматы, и игроки делали ставки на исход бросания костей. Одна классическая азартная игра состояла в том, чтобы бросить четыре кости и поставить на выпадение по крайней мере одной шестерки. Получался славный источник скромного дохода для всякого, кто желал поставить на это, и наших математических познаний уже достаточно, чтобы увидеть почему:

Шаг 1

Вероятность выпадения одной шестерки при бросании четырех костей равна 1 минус вероятность невыпадения шестерки ни на одной из четырех костей.

Шаг 2

Вероятность невыпадения шестерки на одной кости есть 5/ 6, так что при наличии четырех костей вероятность равна 5/ 6× 5/ 6× 5/ 6× 5/ 6= 625/ 1296что есть 0,482.

Шаг 3

Итак, вероятность выпадения шестерки равна 1 - 0,482 = 0,518.

Вероятность 0,518 означает, что если вы бросите четыре кости тысячу раз, то можно ожидать получения по крайней мере одной шестерки около 518 раз, а отсутствия шестерок около 482 раз. Если вы поставили деньги на выпадение по крайней мере одной шестерки, то в среднем вы будете выигрывать больше, чем проигрывать, так что к окончанию игры немного разбогатеете.

Живший в XVII веке писатель шевалье де Мэрэ был завсегдатаем как игральных заведений, так и самых модных салонов Парижа. Шевалье интересовался математической стороной происходящего за игорным столом не менее, чем своим выигрышем. В связи с этим у него возник целый ряд вопросов, на которые сам он был не в состоянии ответить. Поэтому в 1654 году он обратился к прославленному математику Блезу Паскалю. Его обращение было случайным событием, которое положило начало систематическому исследованию случайности.

Блезу Паскалю в то время был всего 31 год, но он пользовался известностью в интеллектуальных кругах уже почти два десятилетия. Уже в детстве Паскаль выказывал такие способности, что к 13 годам отец позволил ему посещать научный салон, организованный уже известным нам монахом и любителем простых чисел Мареном Мерсенном. Туда захаживали многие знаменитые математики, включая Рене Декарта и Пьера де Ферма. (Кстати, еще подростком Паскаль доказал важные теоремы из геометрии и изобрел нечто вроде механической вычислительной машины, которую назвал паскалиной.)

Первый вопрос, с которым де Мэрэ обратился к Паскалю, был таков. Итак, имеется равная 1/ 36вероятность выпадения двух шестерок при бросании двух костей. Вообще говоря, вероятность выпадения двух шестерок повышается по мере того, как пару костей бросают снова и снова. Наш шевалье желал узнать, сколько раз необходимо бросать кости, чтобы ставка на две шестерки превратилась в дело прибыльное.

Второй вопрос был посложнее. Пусть Жан и Жак играют в кости, причем игра состоит из нескольких раундов, в каждом из которых они бросают кость и определяют, у кого выпало большее число очков. Окончательным победителем является тот, у кого большее число очков выпало три раза. Они оба поставили по 32 франка, так что на кону 64 франка. Если игра прерывается после трех раундов, в течение которых Жан выбросил большее число два раза, а Жак лишь один раз, то как следует поделить деньги в банке?

Размышляя над этими вопросами и ощущая потребность обсудить их с коллегой по цеху гениев, Паскаль написал своему другу из мерсенновского салона — Пьеру де Ферма. Ферма, живший вдали от Парижа в Тулузе, был на 22 года старше Паскаля. Он работал судьей в местном уголовном суде и забавлял себя математикой, к которой относился как к интеллектуальному развлечению. Тем не менее любовь к сосредоточенным размышлениям сделала его одним из наиболее уважаемых математиков первой половины XVII столетия.