Виолетта Гайденко - Западноевропейская наука в средние века: Общие принципы и учение о движении

Другой довод Суайнсхеда против измерения интенсии степенью приближения к высшему градусу состоит в том, что в данном случае неизбежно обращение к понятию бесконечности, что порождает большие трудности. Измерить степень «приближения» к высшему градусу можно только одним способом — оценив путь, который необходимо пройти, чтобы достичь высшего градуса интенсивности. Но прохождение этого пути, как и всякого геометрического отрезка, предполагает «пересчет» бесконечного числа точек (в данном случае градусов). Эти промежуточные точки (градусы) лежат ближе к высшему градусу широты, а некоторые из них будут бесконечно ближе к нему, чем данный. Следовательно, умозаключает Суайнсхед, «высший градус имеет бесконечную интенсивность» [там же].

Такое умозаключение естественно, если исходить из предпосылки, на которой основано все рассуждение Суайнсхеда, а именно: чтобы измерить расстояние до высшего градуса, надо взять бесконечную последовательность промежуточных градусов и просуммировать все расстояния между соседними градусами в этой последовательности. Последовательное прибавление «минимальных» расстояний по существу задает механизм того «приближения» к высшему градусу, с помощью которого должна измеряться интенсия. Поскольку процесс приближения к высшему градусу означает, что изменение еще не завершилось, то высшего градуса, т. е. конечного пункта изменения, еще нет; поэтому, строго говоря, «минимальные расстояния» нельзя представлять себе в виде частей отрезка, соединяющего данный градус с высшим, так как о таком отрезке может идти речь только в момент когда изменение подойдет к концу. Суммированию, следовательно, подлежат не части конечной величины, а отдельные величины. Сумма таких величин, по суждению Суайнсхеда, будет бесконечной величиной. Отсюда вытекает, что «высший градус» будет также иметь бесконечную интенсивность, поскольку шкала интенсии определена так, что одна и та же пропорция характеризует отношение величин градусов и отношение их расстояний от точки отсчета.

Таким образом, интуиция счета, взятая за основу модели движения, сразу же приводит к необходимости оперировать бесконечными последовательностями. Но с бесконечными последовательностями, образующимися в результате добавления членов к уже имеющимся, мертонцы не умели еще работать. Они предпочитали иметь дело с частями уже данного конечного отрезка, получаемыми в результате его последовательных делений. Определение интенсии не через приближение, а через отстояние от точки отсчета (не-градус) позволяет задать величину градуса с помощью конечного отрезка, характеризующего уже происшедшее изменение. Зависимость между величиной градуса и его отстоянием от точки отсчета становится в данном случае совершенно прозрачной. «Если некое количество, — пишет Суайнсхед, — больше отличается от нуля (a non-quanto), чем другое количество, то оно называется большим; отсюда точно так же, если нечто дальше отстоит от не-градуса своей интенсивности, то оно называется более интенсивным» [там же]. Если интенсия представляет собой движение в одном направлении, то ремиссия есть аналогичное движение, но в обратном направлении [82]. Поэтому «терять ремиссию есть не что иное, как приобретать интенсию, что понятно, поскольку ремиссию следует понимать как недостаток интенсии» [там же].

Разъясним теперь более подробно, что мы имели в виду, говоря об основной интуиции мертонской школы, обращение к которой знаменовало начало нового — неаристотелевского — этапа в развитии учения о движении. Может показаться, что смысл доктрины интенсии и ремиссии качеств (и все цитированные выше отрывки из «Книги вычислений» Ричарда Суайнсхеда как будто свидетельствуют в пользу этого мнения) не только не сводим к интуиции счета, но и прямо ей противоположен: Суайнсхед исходит из предположения о непрерывности качественного изменения, непрерывности движения и ищет способ, с помощью которого можно было бы охарактеризовать процесс возрастания или убывания величины, рассматриваемой как мера интенсивности качества. Если счет представляет собой дискретную последовательность элементарных шагов, каждый из которых приводит к полаганию нового числа, отличающегося от предыдущего на совершенно определенную величину (например, единицу), вследствие чего ряд, порождаемый в процессе счета, состоит из дискретных величин, то восходящее к Аристотелю представление о непрерывности отрицает наличие в непрерывном ряду вообще какого бы то ни было «расстояния», разделяющего значения двух произвольно взятых точек. Однако объяснительной силы, заключенной в аристотелевском понятии непрерывности, согласно которому в непрерывной величине между любыми двумя точками всегда может быть найдена третья, промежуточная, было достаточно только для того, чтобы исключить случай мгновенного изменения; оно было совершенно неконструктивным в том смысле, что не влекло никаких новых способов описания движения, не вело к формированию соответствующего языка. Решающий шаг к созданию такого языка был сделан в работах мертонских «калькуляторов». Удалось им его создать в значительной мере благодаря новому подходу к проблеме непрерывности: они оперировали не с непрерывностью как таковой, а с бесконечными дискретными последовательностями [83], каждая из которых выделяет в континууме дискретное (упорядоченное) множество частей. Непрерывность у мертонцев была фоном, на котором развертывалось построение дискретных последовательностей; но тем самым переосмыслялось само понятие непрерывности: если Аристотель вводит это понятие, апеллируя к процедуре деления, которая может быть продолжена до бесконечности, — процедуре, несовместимой с существованием дискретных величин и в этом отношении представляющей собой альтернативу процессу счета, — то непрерывность для исследователей из Мертонколледжа служит предпосылкой для организации процедур счета, приводящих к образованию различных последовательностей. Постулат непрерывности оказывается у них, по сути дела, синонимом существования бесконечного числа различных способов «пересчета», отличающихся «длиной» элементарных шагов, который может быть осуществлен на любом отрезке, рассматриваемом как непрерывная величина. Иначе говоря, вместо непрерывности, определяемой отрицательным образом, как отсутствие дискретных частей, которые могут быть сосчитаны, «калькуляторы» работают с непрерывностью, подлежащей счету (хотя и не могущей быть сосчитанной единственным образом, с помощью той или иной конкретной процедуры счета), т. е. она фактически оказывается результатом совмещения в одном ряду бесконечного числа считаемых последовательностей.