Жак Адамар - Исследование психологии процесса изобретения в области математики

Может произойти обратное: умы могут быть устроены таким образом, что идеи, выработанные в недрах бессознательного, тем не менее полностью доходят до сознания. Я мог бы охотно представить себе это в случае Пуанкаре, идеи которого, хотя и могли быть рождены достаточно глубокой интуицией, обычно казались проделавшими совершенно естественный путь. Как видно, можно казаться логиком при формулировке своих идей, но после того, как эти идеи были открыты путём интуиции [113].

Б) Мысль более или менее узко направленная : мы видели, что выброс атомов Пуанкаре — образование идей, говоря менее метафорическим языком — может быть более или менее рассеянным. Это ещё одно основание для того, чтобы у нас могло сложиться представление или об интуитивном уме (в случае, когда рассеивание велико), или об уме логическом (в противоположном случае); и это второе основание может, априори по крайней мере, не иметь никакого отношения к первому: угол, в котором заключена мысль, может быть различным, но независимо от того, насколько глубок слой бессознательного, в котором эта мысль развивается. Априори мы не знаем, есть ли связь между этими двумя видами «интуитивных тенденций», но один пример (пример Галуа, как мы увидим дальше) нам покажет, что они действительно независимы.

В) Различные вспомогательные представления : мы видели, как сильно различаются учёные по способу использования умственных образов или других конкретных представлений: эти различия могут касаться либо природы представлений, либо способа, которым они влияют на работу мозга. Ясно, что некоторые виды представлений могут дать мысли ход более логический, другие — ход более интуитивный. Но эта сторона вопроса является гораздо менее доступной для изучения именно потому, что явления не всегда сравнимы для различных умов.

Очень общим является использование образов, и они очень часто бывают геометрической природы. Было бы интересно иметь по таким вопросам самонаблюдения Эрмита, который всегда казался витающим вне конкретных представлений (в моём собственном случае, когда я думаю об аналитических вопросах, роль геометрических образов совершенно отлична от той, которую они играют, когда речь идёт о геометрических исследованиях).

Вопрос, который мы только что обсуждали, является единственным исследованным до сих пор вопросом, касающимся различных видов математических умов: естественно, нет никакого сомнения, что математики могут различаться и с других совершенно различных точек зрения.

Например, существует одна теория — теория групп, важность которой в нашей науке не переставала возрастать в течение более чем века, особенно после трудов Софуса Ли в конце XIX века. Некоторые математики, в частности некоторые современники, обогатили её блестящими открытиями. Другие — и я признаюсь, что принадлежу к их числу — будучи способны использовать её в простых приложениях, испытывают непреодолимые трудности при попытке познать эту теорию глубже. Было бы интересно открыть психологическую основу такого различия умов, различия, которое мне кажется несомненным.

Если у некоторых умов, исключительно интуитивных, идеи могут рождаться и комбинироваться в ещё более глубоких слоях бессознательного, как мы только что рассмотрели, то возможно, что даже очень важные звенья дедукции могут оставаться неизвестными даже самому автору. История науки даёт несколько замечательных примеров этого.

Ферма (1601–1665). Пьер Ферма был магистром, советником тулузского парламента. В то время жизнь была менее сложной, чем сейчас, и его служебные обязанности, вероятно, не были ему помехой в его весьма значительных математических исследованиях. Кроме участия в первом этапе построения исчисления бесконечно малых и даже в создании теории вероятностей, он активно занимался вопросами теории чисел. Среди трудов древних математиков, которыми он располагал, был перевод Диофанта, греческого учёного, который занимался арифметическими вопросами. После смерти Ферма в его экземпляре Диофанта нашли на полях следующее замечание (по латыни):

«Я доказал, что соотношение x m + y m = z m невозможно в целых числах ( x, y, z отличны от нуля, m больше чем 2). Но на полях недостаточно места, чтобы записать доказательство» [114].

Три века прошло с тех пор, и всё ещё ищут доказательство, которое Ферма мог бы написать на полях, если бы они были больше. Тем не менее кажется, что Ферма не ошибся, так как частные доказательства для некоторых обширных классов значений показателя m найдены; например, для всех m , меньших ста, доказательство нашли [115]. Но огромная работа, которая сделала возможным получение этих частных результатов, не могла быть произведена путём прямых математических pacсуждений [116]: эта работа требовала применения нескольких важных алгебраических теорий, которые были совершенно неизвестны в эпоху Ферма, и никаких намёков на которые нет в записях Ферма . После того как в течение XVIII и начала XIX века были установлены некоторые основные положения алгебры, немецкий математик Куммер, чтобы приступить к проблеме «последней теоремы Ферма», должен был ввести новое и смелое понятие «идеала» — грандиозная идея, которая полностью революционизировала алгебру. Но, как мы только что сказали, даже это мощное орудие математической мысли дало до сих пор лишь частные случаи доказательства этой таинственной теоремы.

Риман (1826–1866). Бернгард Риман, огромную интуитивную способность которого мы уже отмечали, существенно обновил наши знания о распределении простых чисел, также одного из наиболее таинственных вопросов математики [117]. Он научил нас получать результаты в этом направлении, пользуясь методами интегрального исчисления, точнее, изучая некоторую величину, являющуюся функцией переменной S , которая может принимать действительные или мнимые значения. Он доказал некоторые важные свойства этой функции, но два или три важных свойства он указал не приводя доказательства. После смерти Римана в его бумагах нашли запись, в которой говорилось: «Эти свойства ζ( S ) (функции, о которой идёт речь) выводятся из одного из её выражений, которое я не сумел достаточно упростить, чтобы опубликовать».

Мы и сейчас не имеем ни малейшего понятия о том, что могло бы представлять собой это выражение! Что же касается свойств, простой формулировкой которых он ограничился, то мне потребовалось десятка три лет, чтобы я смог их доказать — все, кроме одного. Что касается этого последнего свойства, то оно до сих пор остаётся недоказанным, хотя благодаря огромной работе, проделанной за последние полвека, получено несколько очень интересных результатов в этом направлении. Кажется всё более и более вероятным — но ещё никоим образом не достоверным — что гипотеза Римана верна. Естественно, все эти дополнения к трудам Римана могли быть сделаны лишь благодаря фактам, которые в его время были абсолютно неизвестны; что же касается одного из свойств, которое он сформулировал, то почти невозможно понять, как он мог его открыть, не используя частично этих общих принципов, хотя он не упоминает о них в своём мемуаре [118].