Жак Адамар - Исследование психологии процесса изобретения в области математики

Несомненно, они не вполне отдают себе отчёт в том, чего требуют, и они не сумели бы сформулировать своё желание, но если они не удовлетворены, то они смутно чувствуют что им чего-то не хватает.»

Легко понять связь между сказанным и нашими предыдущими рассмотрениями. Чтобы преподавать устно или письменно, надо дать каждую часть доказательства в совершенно осознанном виде, в соответствии с одновременными стадиями проверки и «завершения», которые мы описали выше. При этом, думая о будущих следствиях, обычно стараются увеличить число результатов-эстафет. При таком подходе (который кажется наилучшим для получения ясного и строгого представления у начинающего) не остаётся ничего от синтеза, важность которого мы подчеркнули в предыдущей главе. Этот синтез является для нас поводырём, без которого мы были бы как слепые, умеющие ходить, но никогда не знающие направления, в котором надо идти.

Те, кто может видеть такой синтез, «понимают математику». В противном случае, имеются две тактики, отмеченные Пуанкаре (см. выше), и обычно вторая тактика преобладает: студент чувствует, что чего-то не хватает, но никак не может понять, в чём же дело; если он не преодолеет эту трудность, всё потеряно.

В первом из указанных Пуанкаре случаев студент, не найдя никакого подхода для синтеза, обходится без последнего. Хотя это и позволяет ему продолжать учёбу (часто в течение многих лет), его случай с некоторой точки зрения хуже, чем у другого; тот понимает, по крайней мере, существование трудности. Так как требуется всё больше и больше математиков для различных областей, такой тип студента встречается часто. Однажды я опрашивал студента, который, руководствуясь своим здравым смыслом, знал верный ответ на мой вопрос, но не думал, что он всегда вправе так ответить, и не отдавал себе отчёта в том, что указания его подсознания могли быть легко преобразованы в правильное и строгое доказательство.

Любопытные примеры такого типа часто встречаются среди студентов, занимающихся дифференциальным и интегральным исчислением. Чаще всего они задают себе вопрос, можно ли опираться на такую теорему или формулу и выполнены ли условия её применимости; и они иной раз из-за этого причиняют себе немало хлопот, в то время как здравый смысл указывает, что ответ практически очевиден… и с другой стороны, они пренебрегают такой предосторожностью в тонких вопросах, заслуживающих внимательного исследования! Это замечание и другие аналогичные могут при случае оказаться полезными в педагогике.

Поговорив о студентах, перейдём к самим математикам, способным не только понимать математические теории, но и выдвигать новые. Они отличаются не только от студентов, но и между собой. Было подчёркнуто основное различие: некоторые математики «интуитивны», другие — «логики». Об этом различии говорил Пуанкаре, так же как и немецкий математик Клейн. Доклад Пуанкаре на эту тему [106]начинается так:

«Одни прежде всего заняты логикой; читая их работы, думаешь, что они продвигались вперёд шаг за шагом с методичностью Вобана, который готовит штурм крепости, ничего не оставляя на волю случая. Другие руководствуются интуицией и с первого удара добиваются побед, но иногда ненадёжных, так же, как отчаянные кавалеристы авангарда».

Клейн доходит до введения в вопрос политики; он утверждал в 1893 г. [107]: «кажется, что сильная пространственная интуиция присуща тевтонской науке, в то время как чисто логический критический дух более развит в латинской и еврейской расах». Такое утверждение противоречит фактам, что будет ясно видно, когда мы перейдём к примерам. Несомненно, что Клейн, говоря об этом, недвусмысленно рассматривает интуицию с её таинственным характером как нечто высшее по отношению к прозаическому пути логики (мы уже встречались с подобной тенденцией в гл. III), и он, очевидно, счастлив провозгласить такое превосходство своих соотечественников. Совсем недавно мы были свидетелями того, как нацисты провозгласили этот особый вид этнографии, мы видим, что нечто подобное существовало уже в 1893 г.!

Такую тенденциозную интерпретацию фактов находишь всякий раз, когда в игру вступают националистические и расистские страсти. В начале первой мировой войны один из наших самых крупных учёных и историков науки физик Дюгем был точно так же, как и Клейн, сбит с толку, но в противоположном смысле. В достаточно подробной статье [108]он изображает немецких учёных, особенно математиков, как людей, лишённых интуиции или даже как сознательно её отметающих. Особенно трудно понять, как он может так характеризовать Римана, который несомненно является одним из наиболее типичных примеров интуитивного ума. Утверждение Дюгема в 1915 г. мне кажется столь же необоснованным, как и утверждение Клейна в 1893 г. Если бы тот или другой был прав, то из всего сказанного читатель сделал бы вывод, что либо французы, либо немцы никогда не делали важных открытий. Единственная тенденция, в которой я мог бы упрекнуть с этой точки зрения немецкую математическую школу, состоит в систематических попытках — мало обоснованных и несколько педантичных (особенно под влиянием Клейна) — утверждать, что в некоторых доказательствах анализа и в его арифметических приложениях предпочтительнее употреблять ряды, чем интегралы. Как раз в этих вопросах использование рядов кажется более логичным и использование интегралов более интуитивным. В этой тенденции проявляется, может быть, ещё некоторый национализм, так как ряды использовались знаменитым Вейерштрассом — совершенно очевидным представителем логических умов, — репутация которого и влияние на немецких учёных были огромны, в то время как Коши и Эрмит в аналогичных случаях вводили интегралы [109](что делал, впрочем, и Риман).

Пуанкаре — более мудро, я полагаю — не переводит вопрос в политический план. Напротив, он показывает, насколько сомнительна эта точка зрения и, чтобы проиллюстрировать противоположность этих двух видов умов, он сравнивает между собой двух французов, а затем двух немцев.

Я был полностью согласен с идеями Пуанкаре на протяжении первых пяти глав, но на этот раз я с ним разойдусь во взглядах. На стр. 101 мы цитировали первую фразу его доклада, воспроизведём теперь вторую.

«Отнюдь не обсуждаемый ими вопрос заставляет их использовать тот или другой метод. Если часто об одних говорят, что они аналитики , а других называют геометрами , то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются вопросами геометрии, в то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом. Сама природа их ума делает их «логиками» или «интуитивистами» и они не могут переродиться, когда принимаются за новую тему».