Жак Адамар - Исследование психологии процесса изобретения в области математики

Макс Мюллер соглашается, что «при некотором усилии» он может представить себе ход мысли такого явного противника, как Беркли, и понять некий «вид философской галлюцинации», говоря его словами. Но он не может понять того мнения, что большинство , а не все наши мысли выражаются в словах, или что большинство , а не все люди думают словами. Тот факт, что некоторые из великих авторов говорят об этом не из-за «отсутствия смелости», а потому что так оно и есть, явно выше его понимания.

Сколь парадоксальным это ни является, есть два примера такого же типа из области математики. За несколько лет до первой мировой войны один математический вопрос, связанный с метафизикой, вызвал в нашей среде оживлённые споры, особенно между мной и одним из моих лучших и наиболее уважаемым друзей, крупным учёным Лебегом. Мы вынуждены были констатировать, что по-разному понимаем очевидность — эту отправную точку уверенности в мышлении всякого рода. Но, естественно, мы не стали презирать друг друга только из-за того, что мы поняли невозможность взаимопонимания.

Второй пример касается теории множеств. Когда в 1879–1884 гг. Георг Кантор опубликовал свои результаты по этой теории (являющейся теперь одной из основ современной науки), один из этих результатов казался настолько парадоксальным и меняющим наши основные понятия, что он вызвал решительную недоброжелательность Кронекера, одного из ведущих математиков того времени. В связи с этим Кронекер даже помешал Кантору получить новый пост в немецких университетах, и ни одно из его произведений не появлялось в немецкой периодике. Нужно ли говорить, что доказательство этого результата является столь ясным и строгим, как и всякое другое математическое доказательство, и не даёт никаких оснований оспаривать его.

Ибо, где не хватает понятий, там вовремя словечко вставят. См. «Фауст», ч. 1, пер. Б. Л. Пастернака, где эти строки переданы так:

Бессодержательную речь

Всегда легко в слова облечь.

— Прим. ред.

Th. Ribot, "Psychologic de l'Attention", p. 85. Рибо описывает одновременно развитие этой функции слова. Он пишет: «Обучение счёту детей или, ещё лучше, дикарей показывает, как слово, связанное первоначально с предметами, а затем с понятиями, отделяется постепенно от них и становится независимым».

"The Science of Thought", vol. 1, p. 97.

William James, "A Pluralistic Universe", p. 272.

См. H. Delacróix, "Le Langage et la Pensée", p. 381 и далее, и сравнить с замечаниями на стр. 406.

См. также Titchener, "Experimental Psychology of the Thought Processes", в особенности лекцию 1 и соответствующие замечания.

Тот же вопрос занимает большое место в некоторых психологических исследованиях Варендонка. См. Varendoncq, "Psychology of Day Dreams", особенно ch. II, p.75–86.

"Experimental Psychology of the Thought Processes", p. 7 и далее.

Вопросы, которых мы здесь слегка коснулись, связаны больше с арифметизацией, чем с теми идеями Гильберта, о которых мы упоминали в главе IV.

Тут можно сделать то же заключение, что и по поводу «Основ геометрии» Гильберта. Я дал упрощённое доказательство первой части теоремы Жордана; моё доказательство может быть, естественно, вполне арифметизовано, иначе оно не считалось бы доказательством, но, разыскивая его, я всё время думал о фигуре (всегда представляя её себе в виде весьма извилистой кривой), и так повторяется всегда, когда я думаю об этом доказательстве. Я даже не могу утверждать, что я строго проверил это доказательство или для каждого его звена я проверял возможность его арифметизации (другими словами, арифметизованное доказательство не возникало в моём сознании). Однако ни для меня, ни для какого-либо другого математика, который будет читать доказательство, нет сомнения в том, что каждое его звено может быть арифметизовано; я могу мгновенно дать это доказательство в арифметизованном виде, и это доказывает, что в такой форме доказательство имеется в моём краевом сознании.

"Science et Méthode", p. 104.

H. Poincaré, "Valeur de la Science", p. 11.

F. Klein, "The Evanston Colloquium", p. 46.

"Revue des Deux Mondes", январь — февраль, 1915, p. 657.

Из-за таких взглядов на вещи Клейн считал необходимым изменить доказательство одной знаменитой теоремы Эрмита; в одном месте он даже заявляет, что «доказательство не является ещё достаточно простым, в нём видны ещё следы идей Эрмита»; и это привело его к новому изменению. На самом же деле эти «упрощения» являются поверхностными и после них, как и раньше, всё — абсолютно всё существенное — базируется на основной идее Эрмита.

Сам Пуанкаре, несмотря на явление озарения, о котором мы говорили, никогда не производил на меня такого впечатления. Когда я читал одну из его крупных работ, у меня складывалось впечатление, что, как она ни замечательна, её уже давно должны были бы сделать (что, очевидно, является заблуждением); в то время как работы Эрмита, вроде той, о которой я говорил, вызывали у меня следующую мысль: «Какие замечательные результаты! Как он мог додуматься до такой вещи!».

Ясно, что такое суждение является в некоторой степени субъективным: вывод, который мне кажется логическим, т. е. соответствующий моему мышлению, и который для меня естественен, может показаться другому интуитивным. Почти все математики должны казаться самим себе логиками. Например, меня спросили, как я мог догадаться использовать для интегрирования уравнений в частных производных приём «главной части расходящегося интеграла»; конечно, если этот приём рассматривать сам по себе, то он может показаться типичным примером «мышления около». Но в действительности мой рассудок долгое время противился такой идее, до тех пор, пока я не был вынужден этого сделать; я пришёл к ней шаг за шагом и читатель-математик легко проверит это, если возьмёт на себя труд посмотреть мои исследования по этому вопросу, особенно мои «Исследования о фундаментальных решениях и по интегрированию линейных уравнений в частных производных», 2-й мемуар, в частности, начиная со стр. 121 (Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, tome XXII, 1905). Я не мог избежать этого метода, как заключённый в поэме Эдгара По «Маятник и колодец» не мог избежать колодца в центре своей камеры.

Ошибка, которую, однако, не надо ставить в упрёк Пуанкаре (см. следующее замечание).

Неизвестно, сам ли Вейерштрасс начертил эту фигуру или он только описал её словесно, так как он излагал этот метод лишь в своих устных курсах и в течение многих лет метод оставался неизвестным для всех, кроме его учеников.