Юрий Ревич - Занимательная микроэлектроника

Чтобы древним вавилонянам, несчастным, не приходилось выучивать аж 60 разных начертаний знаков, они придумали логичную систему наподобие римской (еще раз обратите внимание на рис. 7.4) — действующую, впрочем, только в пределах первых шестидесяти чисел, а далее у них система становилась аналогичной современным.

Самые употребительные системы счисления в настоящее время, кроме десятичной, связаны с электроникой и потому имеют непосредственное значение для нашего повествования. Это знаменитая двоичная система и менее известная широкой публике, но также очень распространенная шестнадцатеричная.

Двоичная система

В двоичной системе необходимо всего два различных знака для цифр: 0 и 1. Это и вызвало столь большое ее распространение в электронике: смоделировать два состояния электронной схемы и затем их безошибочно различить неизмеримо проще, чем три, четыре и более, не говоря уж о десяти.

Что очень важно на практике, двоичная система прекрасно стыкуется как с представленными в предыдущем разделе логическими переменными «правда» и «ложь», так и с тем фактом, что величина, могущая принимать два и только два состояния, и получившая названия бит, есть естественная единица количества информации — меньше, чем один бит, информации не бывает. Это было установлено в 1948 году одновременно упоминавшимся Клодом Шенноном и Нобертом Винером, «отцом» кибернетики. Разряды двоичных чисел (то есть чисел, представленных в двоичной системе) также стали называть битами. (Bit, bite — по-английски «кусочек, частица чего либо». На самом деле это случайное совпадение: слово «бит» возникло от сокращения Binary digiT — «двоичная цифра».)

Заметки на полях

С троичным компьютером, который был на практике построен Н. Брусенцовым в МГУ на рубеже 60-х годов прошлого века (под названием «Сетунь»), связана отдельная история. При разработке первых компьютеров перед конструкторами встал вопрос об экономичности систем счисления с различными основаниями. Под экономичностью системы понимается тот запас чисел, который можно записать с помощью данного количества знаков. Чтобы записать 1000 чисел (от 0 до 999) в десятичной системе, нужно 30 знаков (по десять в каждом разряде), а в двоичной системе с помощью 30 знаков можно записать 2 15=32768 чисел, что гораздо больше 1000. Поэтому двоичная система явно экономичнее десятичной. В общем случае, если взять n знаков в системе с основанием р , то количество чисел, которые при этом можно записать, будет равно р n/p. Легко найти максимум такой функции, который будет равен иррациональному числу е = 2,718282…. Но поскольку система с основанием е может существовать только в воображении математиков, то самой экономичной считается система счисления с основанием 3, ближайшим к числу е. В компьютере, работающем по такой системе, число элементов, необходимых для представления числа определенной разрядности, минимально. Реализацию троичной системы в электронике можно представить себе, как схему с такими, например, состояниями: напряжение отсутствует (0), напряжение положительно (1), напряжение отрицательно (-1). Д. Кнут в своем труде [10] показывает, что троичная арифметика проще двоичной.

И все же брусенцовская «Сетунь» осталась историческим курьезом — слишком велики оказались сложности схемной реализации. Точнее, сам Николай Петрович Брусенцов как раз сложностей не испытывал, т. к. использовал для представления троичных цифр — тритов — трансформаторы, в которых наличие тока в обмотке в одном направлении принималось за 1, в другом — за -1, а отсутствие тока обозначало 0. Но реализовать на транзисторах такое представление значительно сложнее, чем двоичное. В наше время многоуровневые логические ячейки (правда, не троичные, а совместимые с двоичной логикой четвертичные) все же получили развитие — они служат для увеличения плотности упаковки информации в элементах флэш-памяти.

Стоит также отметить, что представление двоичных цифр с помощью уровней напряжения, как это делается в электронных устройствах, есть точно такая же модель числа, как раскладывание на земле палочек и проведение черточек на бумаге. В последних случаях мы оперируем с числами вручную, по правилам арифметики, а в электронных схемах это происходит в автоматическом режиме, без участия человека — вот и вся разница! Это очень важный момент, который следует хорошо осмыслить, если вы действительно хотите вникнуть в суть работы цифровых электронных схем.

Итак, запись числа в двоичной системе требует всего две цифры, начертание которых заимствовано из десятичной системы, и выглядит, как 0 и 1. Число, например, 1101 тогда будет выглядеть так:

1∙2 3+ 1∙2 2+ 0∙2 1+ 1∙2 0= 13.

Чтобы отличить запись числа в различных системах, часто внизу пишут основание системы:

1101 2= 1310.

Если система не указана, то имеется в виду обычно десятичная, но не всегда. Часто, когда из контекста понятно, что идет речь об электронных устройствах, не указывают не только основание «два», но и под словом «разрядность» имеют в виду количество именно двоичных, а не десятичных разрядов (таков, скажем, смысл термина «24-разрядный цвет»).

Шестнадцатеричная система

Шестнадцатеричная система имеет, как ясно из ее названия, основание шестнадцать. Для того чтобы получить шестнадцать различных значков, изобретать ничего нового не стали, а просто использовали те же цифры от 0 до 9 для первых десяти знаков, и заглавные латинские буквы от А до F — для знаков с одиннадцатого по шестнадцатый. Таким образом, известное нам число 13 10выразится в шестнадцатеричной системе, как просто D 16. Соответствие шестнадцатеричных знаков десятичным числам следует выучить наизусть: А — 10, В — 11, С — 12, D — 13, Е — 14, F — 15. Значения больших чисел вычисляются по обычной формуле, например:

A2FC 16= 10∙16 3+ 2∙16 2+ 15∙16 1+ 12∙16 0= 40960+ 512 + 240 + 12 = 41724 10.

Перевод из одной системы счисления в другую

Как следует из ранее изложенного, перевод в десятичную систему любых форматов не представляет сложности и при надлежащей тренировке может осуществляться даже в уме. Для того чтобы быстро переводить в десятичную систему двоичные числа (и, как мы увидим, и шестнадцатеричные тоже), рекомендую выучить наизусть таблицу степеней двойки до 16:

На первое время достаточно запомнить верхний ряд, остальное выучится позже само.

Сложнее переводить из десятичной системы в двоичную, в учебниках описывается устрашающая процедура, основанная на делении столбиком. Я сейчас попробую вам показать способ, который позволяет переводить числа в двоичную систему несколько более простым методом, причем небольшие числа можно преобразовать даже в уме. Это, в сущности, то же самое деление, но без излишних сложностей и формальностей. Запомните сначала следующее правило: число, равное какой-либо степени двойки, имеет 1 в разряде с номером, на единицу большим степени, остальные все нули: