Юрий Ревич - Занимательная электроника

Теперь мы можем грамотно ответить на вопрос, поставленный в начале раздела: если погрешность мультиметра на пределе 2 В составляет 0,5 %, то любое показываемое им значение на этом пределе (в том числе указанное нами ранее значение 1,000 В) отклонится от истинного значения не более, чем на ±10 мВ в 95 случаях из ста. А теперь оставим эти скучные материи и перейдем к куда более интересным вещам — к логическим микросхемам и цифровой электронике.

Математическая логика и ее представление в технических устройствах

— Теперь давайте сочтем, сколько у нас всего. Портос?

— Тридцать экю.

— Арамис?

— Десять пистолей.

— У вас, Д'Артаньян?

— Двадцать пять.

— Сколько это всего? — спросил Атос.

— Четыреста семьдесят пять ливров! — сказал д'Артаньян, считавший, как Архимед.

А. Дюма. Три мушкетера

Все началось, конечно, с Аристотеля, который жил в IV веке до нашей эры. Когда читаешь вступление к любой популярной книге, посвященной чему угодно: от изящных искусств до биологии, химии, физики и математики, — возникает впечатление, что Аристотель был каким-то сверхчеловеком. В самом деле, гении встречаются, но нельзя же быть гением настолько, чтобы разработать основы вообще всего, на чем зиждется современная цивилизация! Тем не менее, и авторы не врут, и Аристотель сверхчеловеком не был. Во-первых, знаний было тогда накоплено еще не очень много, и обозреть их все — задача вполне посильная для человека острого ума и выдающихся способностей. Во-вторых, Аристотель работал не один, его метод — коллективный мозговой штурм, это просто история донесла до нас фактически одно только его имя.

Но главное, пожалуй, в другом — древние рассматривали упомянутые нами дисциплины во взаимосвязи. Аристотель четко разделил только науку и ремесла («техно», по-гречески), наука же делились на практические (этику и политику) и теоретические (физику и логику) дисциплины, но и они рассматривались как составные части единой науки. В чем древние, конечно, были более правы, чем мы, вынужденно поделившие области человеческой деятельности на множество автономных разделов.

Для нас важно, что главной составной частью науки считалась именно логика — искусство рассуждения. Вот она-то и послужила той основой, из которой выросла цифровая техника и все многообразие информационных технологий, которые окружают нас теперь на каждом шагу.

Выдвинутые Аристотелем законы логики, которые с его же подачи стали идентифицироваться с законами мышления вообще, неоднократно пытались привести в математическую форму. Некто Луллий в XIII веке попытался даже механизировать процесс логических рассуждений, построив «Всеобщий решатель задач» (несомненно, это была первая попытка построения «думающей машины»). Формализацией логики занимался Лейбниц, искавший универсальный язык науки, и в конце концов все сошлось в двух работах английского математика Джорджа Буля, который жил и работал уже в середине XIX века. Любопытно название второй из этих работ — «Исследование законов мышления», первая же работа называлась поскромнее, но без «мышления» и тут не обошлось, — в названии фигурировало слово «рассуждения». То есть и сам Буль, и еще сто лет после него, до середины XX века, и все его предшественники в течение двух с большим лишком тысяч лет, прошедших со времен Аристотеля, — никто так и не усомнился, что в основе мышления лежит именно та логика, которая называется «аристотелевой». И лишь в XX веке, после работ Геделя и Тьюринга, и особенно в связи с благополучно провалившимися (как и у Луллия за 700 лет до того) попытками создания «искусственного интеллекта», до ученых, наконец, начало доходить, что мышление вовсе не имеет логической природы, а логика есть лишь удобный способ сделать свои рассуждения доступными окружающим.

Главное же следствие возникновения математической логики выявилось совсем не в исследованиях мышления, где оно виделось Лейбницу и Булю. Его обозначил в своей магистерской диссертации от 1940 года великий Клод Шеннон (рис. 14.1) — оказалось, что булевы законы в точности совпадают с принципами функционирования релейных электрических схем. Что самое поразительное — все компоненты, необходимые для моделирования законов логики с помощью электрических устройств (реле, выключатели), были известны еще до публикации Булем своих работ, но в течение еще почти ста лет никто не обращал на это внимания (Шеннон скромно утверждал, что случилось так, что до него просто никто не владел математикой и электротехникой одновременно). Не обратил на это внимание даже Чарльз Бэббидж, сконструировавший еще задолго до работ Буля механическую вычислительную («аналитическую») машину, — а ведь был знаком и с самим Булем, и с его работами!

Рис. 14.1. Клод Элвуд Шеннон(Claude Elwood Shannon), 1916–2001

Фото Lucent Technologies Inc /Bell Labs

Булева алгебра имеет дело с абстрактными логическими переменными. Эти переменные можно интерпретировать по-разному, но интерпретацию мы пока отложим.

Вне зависимости от интерпретации, для логических переменных определены некоторые операции, подчиняющиеся определенным правилам. Базовые операции такие:

□ операция логического сложения двух операндов — операция объединения, операция «ИЛИ» («OR»), обозначается обычным знаком сложения;

□ операция логического умножения двух операндов — операция пересечения, операция «И» («AND»), мы будем обозначать ее крестиком, чтобы отличить от обычного умножения;

□ операция отрицания для одного операнда — операция «НЕ» («NOT»), обозначается черточкой над символом операнда.

В математике операция логического сложения (дизъюнкция) обозначается еще знаком v, а умножения (конъюнкция) — ^. Кроме того, операция умножения часто обозначается знаком &, и это обозначение нам встретится, когда мы перейдем к микросхемам. Остальные операции могут быть записаны как сочетания этих трех основных.

Любая конкретная интерпретация булевых операндов — математическая или техническая — должна отвечать правилам булевой алгебры. Например, оказалось, что этим правилам отвечают множества (отсюда другие названия тех же операций: «пересечение» и «объединение»). Программисты имеют дело с логическими переменными 0 и 1, которые также есть одно из представлений булевых операндов.

Следует отчетливо понимать, что вне зависимости от интерпретации (включая и напряжения в релейных цепях по Шеннону), любые булевы объекты ведут себя одинаково: так, операция пересечения множеств совершенно адекватна операции «И» с логическими переменными или соответствующей манипуляции с выключателями в электрической сети.