Пауль Хоровиц - Искусство схемотехники. Том 2 [Изд.4-е]

A+ BC= ( A+ B)( A+ С)

A+ B+ C= ( A+ B) + C= A+ (B+ С)

A+ В= В+ А

А+ А= А

А+ 1= 1

А+ 0= А

1' = 0

0'= 1

А+ А'= 1

АА'= 0

( А') '= А

А+ А'В= А + В

( А+ В) '= А'В'

( АВ) '= А'+ В'

Пример: вентиль Исключающее ИЛИ.

На следующем примере проиллюстрируем использование логических тождеств: попробуем построить схему Исключающее ИЛИ с помощью обычных вентилей. Таблица истинности для Исключающего ИЛИ представлена на рис. 8.24. Изучив ее и поняв, что 1 на выходе существует только тогда, когда ( А, В ) = (0, 1) или (1, 0), мы можем написать А В = А¯В + АВ¯

Рис. 8.24. Таблица истинности вентиля Исключающее ИЛИ.

Соответствующая схемная реализация представлена на рис. 8.25.

Рис. 8.25. Реализация вентиля Исключающее ИЛИ.

Однако эта реализация не является единственной. Используя логические тождества, мы находим, что

Α В = АА¯ + АВ¯ + ВА¯ + ВВ¯ ( АА¯ = ВВ¯ = 0)

= А ( А¯ + В¯ ) + В ( А¯ + В¯ )

= А ( А¯В¯ ) + В ( В¯А ) = ( А + В )( А¯В¯ )

(На первом шаге мы прибавили две величины, равные нулю, а на третьем применили теорему Моргана). Схемная реализация для этого случая показана на рис. 8.26.

Рис. 8.26. Реализация вентиля Исключающее ИЛИ.

Существуют и другие способы построения схемы Исключающее ИЛИ. Рассмотрим следующие упражнения:

Упражнение 8.11.Покажите, что

с помощью логических преобразований. В справедливости этих соотношений легко убедиться, просмотрев таблицу истинности.

Упражнение 8.12.Чему равны следующие соотношения:

а) 0·1, б) 0 + 1, в) 1·1, г) 1 + 1, д) А ( А + В ), е) А ( А ' + В ), ж) Α А , з) Α Α' .

Поскольку логическую функцию, даже такую простую, как Исключающее ИЛИ, можно реализовать различными способами, часто бывает нужно найти для нее самое простое решение, или, возможно, наиболее удобное схемное решение. Над этой проблемой бились многие светлые умы и в настоящее время существует несколько способов ее разрешения, включая алгебраические методы, реализуемые с помощью ЭВМ. При числе входов, не превышающем четырех, наилучшим методом является составление карты Карно. Этот метод позволяет также найти логическое выражение (если оно заранее неизвестно) по таблице истинности. Проиллюстрируем этот метод с помощью примера.

Предположим, что требуется построить схему для мажоритарного подсчета голосов при баллотировке. Будем считать, что имеются три входа, работающие в положительной логике (на любом из них может быть 1 или 0) и выход (0 или 1). Выход равен 1, если 1 присутствует не менее чем на двух входах.

Шаг 1. Составим таблицу истинности

Здесь должны быть представлены все возможные сочетания и соответствующие им состояния выхода (или выходов). В том случае, когда состояние входа не оказывает влияния на выход, ставится X (любое значение).

Шаг 2. Составим карту Карно. Она представляет собой нечто очень близкое к таблице истинности, но содержит переменные, которые расположены по двум осям. Переменные должны быть расположены таким образом, чтобы при переходе от каждого квадрата к соседнему менялось бы состояние только одного входа (рис. 8.27).

Рис. 8.27. Карта Карно.

Шаг 3. Отметим на карте группы, содержащие 1 (можно также использовать и группы, содержащие 0). Три овала на рис. 8.27 определяют логические выражения АВ, АС и ВС . Далее получим требуемую функцию

Q = АВ + АС + ВС ,

схемная реализация ее показана на рис. 8.28.

Рис. 8.28.

Этот результат кажется очевидным, когда он уже получен. Можно было бы составить выражение для нулей и вместо этого получить

Q = А'В' + А'С + В'С .

Это выражение может оказаться полезным для случая, когда в каких-либо точках схемы имеются дополнения А', В' и С .

Некоторые комментарии к картам Карно.

1. Ищите группы, содержащие 2, 4, 8 и т. д. квадратов. Они имеют простые логические выражения.

2. Логика будет тем проще, чем крупнее блок вы опишете.

3. Состыкуйте края карты Карно. Например, карта на рис. 8.29 описывается выражением Q = В'С .

Рис. 8.29.

4. Блок «единиц», содержащий один или два «нуля», лучше всего описывается с помощью группировки, показанной на рис. 8.30. Этому блоку соответствует логическое выражение Q = A ( BCD ) ' .

Рис. 8.30.

5. Места, содержащие X (любое значение), представляют собой «карт-бланш». Записывайте в них «нули» или «единицы» так, чтобы можно было получить простейшую логику.

6. Карта Карно может и не привести к лучшему решению. Иногда более сложное логическое выражение имеет более простую схемную реализацию, например в случае, когда некоторые члены выражения уже сформированы схемой в виде логических сигналов, которые можно использовать в качестве входных. Кроме того, реализации Исключающего ИЛИ не очевидны из карты Карно. Наконец, при выборе логической структуры схемы определенную роль играют ограничения, связанные с конструкцией ИМС (например, когда в одном корпусе содержатся четыре 2-входовых вентиля). Когда используются такие программируемые логические устройства как ПМЛ для конструирования логических функций, внутренняя структура (программируемые вентили И и фиксированные вентили ИЛИ) сдерживает реализацию, которая могла бы быть применена.