М. Бабаев - Гидравлика

Общие дифференциальные уравнения равновесия жидкости – уравнения Л. Эйлера для гидростатики.

Если взять цилиндр с жидкостью (покоящейся) и провести через него линию раздела, то получим жидкость в цилиндре из двух частей. Если теперь приложить некоторое усилие к одной части, то оно будет передаваться другой через разделяющую плоскость сечения цилиндра: обозначим эту плоскость S = w .

Если саму силу обозначить как то взаимодействие, передаваемое от одной части к другой через сечение Δ w , и есть гидростатическое давление.

Если оценить среднее значение этой силы,

Рассмотрев точку А как предельный случай w , определяем:

Если перейти к пределу, то Δ w переходит в точку А .

Поэтому Δp x→ Δp n. В конечном результате px = pn , точно так же можно получить p y = p n, p z = p n .

Следовательно,

p y = p n, p z = p n .

Мы доказали, что во всех трех направлениях (их мы выбрали произвольно) скалярное значение сил одно и то же, то есть не зависит от ориентации сечения Δ w .

Вот это скалярное значение приложенных сил и есть гидростатическое давление, о котором говорили выше: именно это значение, сумма всех составляющих, передается через Δ w .

Другое дело, что в сумме ( p x + p y + p z ) какая-то составляющая окажется равной нулю.

Как мы в дальнейшем убедимся, в определенных условиях гидростатическое давление все же может быть неодинаково в различных точках одной и той же покоящейся жидкости, т. е.

p = f ( x, y, z ).

Свойства гидростатического давления.

1. Гидростатическое давление всегда направлено по нормали к поверхности и его величина не зависит от ориентации поверхности.

2. Внутри покоящейся жидкости в любой точке гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к площадке, проходящей через эту точку.

Причем p x = p y = p z = p n .

3. Для любых двух точек одного и того же объема однородной несжимаемой жидкости (ρ = const)

ρ 1+ ρ П 1= ρ 2+ ρ П 1

где ρ – плотность жидкости;

П 1, П 2– значение поле массовых сил в этих точках.

Поверхность, для любых двух точек которой давление одно и то же, называется поверхностью равного давления.

Это равновесие описывается уравнением, которое называется основным уравнением гидростатики.

Для единицы массы покоящейся жидкости

Для любых двух точек одного и того же объема, то

Полученные уравнения описывают распределение давления в жидкости, которая находится в равновесном состоянии. Из них уравнение (2) является основным уравнением гидростатики.

Для водоемов больших объемов или поверхности требуется уточнения: сонаправлен ли радиусу Земли в данной точке; насколько горизонтальна рассматриваемая поверхность.

Из (2) следует

p = p 0+ ρ g(z – z 0 ) , (4)

где z 1= z; p 1= p; z 2= z 0; p 2= p 0.

p = p 0+ ρ gh , (5)

где ρ gh – весовое давление, которое соответствует единичной высоте и единичной площади.

Давление р называют абсолютным давлением p абс.

Если р > p абс, то p – p атм = p 0+ ρ gh – p атм – его называют избыточным давлением:

p изч = p < p 0, (6)

если p < p атм , то говорят о разности в жидкости

p вак = p атм– p , (7)

называют вакуумметрическим давлением.

Что произойдет в других точках жидкости, если приложим некоторое усилие Δp? Если выбрать две точки, и приложить к одной из них усилие Δp1, то по основному уравнению гидростатики, во второй точке давление изменится на Δp 2.

откуда легко заключить, что при равности прочих слагаемых должно быть

Δp 1= Δp 2. (2)

Мы получили выражение закона Паскаля, который гласит: изменение давления в любой точке жидкости в равновесном состоянии передается во все остальные точки без изменений.

До сих пор мы исходили из предположения, что ρ = const. Если иметь сообщающийся сосуд, который заполнен двумя жидкостями с ρ 1≠ ρ 2, причем внешнее давление p 0= p 1= p атм, то согласно (1):

ρ 1gh = ρ 2gh, (3)

откуда

где h 1, h 2– высота от раздела поверхности до соответствующих свободных поверхностей.

Давление – физическая величина, которая характеризует силы, направленные по нормали к поверхности одного предмета со стороны другого.

Если силы распределены нормально и равномерно, то давление

где – F суммарная приложенная сила;

S – поверхность, к которой приложена сила.

Если силы распределены неравномерно, то говорят о среднем значении давления или считают его в отдельно взятой точке: например, в вязкой жидкости.

Приборы для измерения давления

Одним из приборов, которым измеряют давление, является манометр.

Недостатком манометров является то, что у них нее большой диапазон измерений: 1—10 кПа.

По этой причине в трубах используют жидкости, которые «уменьшают» высоту, например, ртуть.

Следующим прибором для измерения давления является пьезометр.

Высоту напора принято называть пьезометрической высотой, или напором.

Согласно основному уравнению гидростатики,

p 1+ ρgh A= p 2+ ρgh H,

где ρ – плотность жидкости;

g – ускорение свободного падения.

p2, как правило, задается p 2= p атм, поэтому, зная h Аи h H, нетрудно определить искомую величину.

2. p 1= p 2= p атм. Совершенно очевидно, что из ρ = const, g = const следует, что h А= h H. Этот факт называют также законом сообщающихся сосудов.

3. p 1< p 2= p атм.

Между поверхностью жидкости в трубе и ее закрытым концом образуется вакуум. Такие приборы называют вакуумметры; их используют для измерения давлений, которые меньше атмосферного.

Высота, которая и является характеристикой изменения вакуума: