Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Млечного Пути, заключенной внутри орбиты Солнца («солнечного круга») составляет примерно 1011 масс Солнца.

• Закон Хаббла: скорость удаления от нас галактики v равна расстоянию до нее d , умноженному на постоянную Хаббла Н : v = Н d .

0

0

• Постоянная Хаббла Н 67 километров в секунду на мегапарсек.

0

• Возраст Вселенной с момента Большого взрыва примерно равен величине, обратной постоянной Хаббла. Это дает около 14 миллиардов лет.

• Критическая плотность Вселенной равна 3 Н 2/(8 G ), или около

0

10–26 кг/м3. Отношение фактической плотности Вселенной к этой критической плотности обозначается символом. В сегодняшней Вселенной

=

вещества

= 0,30 и

= 0,70.

темной энергии

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

• Энергия Е и масса m эквивалентны: Е = mc 2, где с — скорость света.

• Когда протоны соединяются и образуют ядра гелия в процессе термоядерного синтеза, 0,7 % их массы преобразуется в энергию.

154

Теория относительности

• Наблюдатель, двигающийся мимо вас со скоростью v , будет стареть в темпе

2

2

1− v / c лет на каждый прожитый вами (с вашей точки зрения) год; здесь с — скорость света. Расстояния сокращаются на тот же множитель. Радиус Шварцшильда черной дыры массы М равен 2 GM / c 2. Для

1 массы Солнца это соответствует примерно 3 километрам.

• В специальной теории относительности промежуток между двумя событиями в пространстве-времени составляет ds 2 = dх 2 + dy 2 + dz 2 — c 2 dt 2.

В системе единиц, где с = 1 (например, расстояние измеряется в световых годах, а время в годах), это выражение приобретает вид ds 2 = dх 2 + dy 2 +

+ dz 2 — dt 2.

1/2

• Планковское время равно ⎛ hG ⎞

44

⎜

⎟ ≈ 5×10− с.

5

⎝ 2 c

π ⎠1/2

• Планковская длина равна ⎛ hG ⎞

35

⎜

⎟ ≈ 1,6×10− м.

3

⎝ 2 c

π ⎠

1/2

• Планковская масса равна ⎛ hc ⎞

8

⎜

⎟ ≈ 2,2×10− кг.

⎝ 2 G

π ⎠

• Уравнения для гравитационного поля в общей теории относительности Эйнштейна* выглядят так:

1

R −

= π. В нашем сборнике нет

μν

g μν R 8 T

2

μν

задач, где требовались бы расчеты на основе этих уравнений. Однако отметим, что их левая часть описывает кривизну пространства-времени, а правая — массу, энергию и давление в каждой точке пространства-времени.

* Без учета космологической постоянной — Прим. ред.

Решения

1. Экспоненциальное представление чисел. Обзор

1. a3,17 107.

1. b3,14 0,2 = 0,6 до одной значащей цифры.

1. c0,25 или 2,5 10–1. Можно округлить до одной значащей цифры: 0,3.

1. d1 10–9 м или 1,0 10–9 м.

2. Сколько длится год?

Получить верный ответ можно, пожалуй, и без калькулятора. В минуте 60 секунд, в часе — 60 минут, отсюда получаем 60 60 = 3600 секунд в часе. В сутках 24 часа; запишем 24 100/4, что дает нам приблизительно (3600/4) 100 = 90 000 секунд в сутки. В году 365,24 суток. 365 9 = 365 10 — 365 3300. Но нам нужно было умножать на 90 000, а не на 9, поэтому ответ надо умножить еще на 104, что даст нам 3,3 107 секунд.

Если мы просто все перемножим, уже при помощи калькулятора, то получим с часа суток

7 секунд

3600

×24

×365,24

= 3,156×10

,

год сутки год год что округляется до 3,2 107, до двух значащих цифр. Вручную у нас получилось почти то же самое!

156

Решения

3. Насколько быстро распространяется свет?

Это задача на перевод из одних единиц в другие. Поскольку скорость света дана нам с точностью до двух значащих цифр, окончательный ответ должен заключать столько же значащих цифр:

8 м

7 с км

12 км с = 3,0×10 ×3,17×10

×

= 9,5×10

,

3 с год 10 м год то есть около 10 триллионов (1013) километров в год. Так что 1013 километров — это и есть 1 световой год.

4. Угловые секунды в радиане

Вспомните, что в полном круге 360 градусов или 2 радиан. Следовательно, в каждом радиане 360° 180

=

градусов. Кроме того, в каждом гра-

2π

π

дусе 3600 угловых секунд. А значит, число угловых секунд в радиане —

число, которым мы будем пользоваться постоянно — составляет

180 градус угл. сек. 18×36

2+2

×3,600

=

×10.

π радиан градус

π

Посмотрим, справимся ли мы с этими вычислениями без калькулятора: 36 1,8 = 36 2 0,9 = 72 (1–0,1) = 72 — 7,2 65.

А при ближайшем рассмотрении 65/ 20. Таким образом, в радиане приблизительно 200 000 угловых секунд. Если мы возьмем калькулятор, то получим точный ответ: 206 264,8 угловых секунд на радиан, однако приблизительного значения вполне достаточно для любых вычислений, с которыми вы столкнетесь в нашем задачнике.

5. Парсек — это далеко?

Рассмотрим рис. 4.1 книги «Большое космическое путешествие».

Возьмем узкий длинный треугольник, основание которого ( r ) представляет собой радиус земной орбиты вокруг Солнца (1 астрономическая единица, 157

Решения то есть а. е.), угол при вершине которого (), направленный в сторону звезды, составляет 1 угловую секунду, а высота ( d ) составляет 1 парсек.

Малоугловая формула говорит нам, что = r / d , или, если решить это уравнение для d (поскольку нас сейчас интересует именно эта величина), d = r /. Эта формула работает, если выражается в радианах, но здесь выражено в угловых секундах. К счастью, мы только что, в задаче 4, вычислили коэффициент перевода угловых секунд в радианы и обратно, и теперь можем подставить числа:

1 а.е.

5

1 парсек =

= 2×10 а.е.

1

1 угл. секунда радиан

×

5

2×10 угл. секунд

Таким образом, число а. е. в парсеке в точности равно числу угловых секунд в радиане, как и должно быть по определению.

Теперь нам нужно вычислить это расстояние в световых годах. Никаких хитрых способов для этого мы не знаем и можем лишь просто перевести все в километры. Из задачи 2 мы знаем, что в году 3,16 107 секунд. Поскольку скорость света равна 3 105 км/с, количество километров в световом годе равно расстоянию, которое свет проходит за 1 год (то есть представляет собой произведение этих двух чисел):

3,16 107 с 3 105 км/с = 1013 км с точностью до одной значащей цифры.

Отлично, теперь давайте вычислим, сколько километров в парсеке. Мы знаем, сколько в парсеке а. е., знаем, сколько километров в а. е., следовательно, их произведение дает нам

1 парсек = 2 105 а. е. 1,5 108 км/а. е. = 3 1013 км.

Сравнив эти два числа, мы находим, что 1 парсек равен примерно

3 световым годам. Если подставить во все формулы более точные числа, получим, что 1 парсек равен 3,26 светового года.

158

Решения

Астрономы сплошь и рядом применяют парсеки и световые года как взаимозаменяемые величины, но все же предпочитают парсеки. Поэтому коэффициент пересчета 3,26 стоит запомнить. Конечно, для приблизительных вычислений достаточно одной значащей цифры (3 световых года в 1 парсеке). Зачастую мы говорим о килопарсеках (кпк; Солнце находится примерно в 8 кпк от центра Млечного Пути), мегапарсеках (Мпк; галактика Андромеда находится примерно в 0,7 Мпк от Млечного Пути) и даже гигапарсеках (Гпк, 109 парсек; это число пригодится при разговоре об очень далеких галактиках).