Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

2 секунда

Один электроновольт (сокращенно эВ) — единица, которую часто используют при описании процессов, происходящих с атомами, — равен

1,6 10–19 Дж. Часто нам приходится говорить о больших количествах электроновольт, например, о мегаэлектроновольтах (МэВ, 106 эВ) и гигаэлектроновольтах (ГэВ, 109 эВ).

• Светимость L (энергия в единицу времени) измеряется в джоулях в секунду (иногда эту единицу называют ваттами, Вт) либо в светимостях

Солнца: L

= 3,8 1026 ватт.

Солнца

• Яркость измеряется в джоулях в секунду на квадратный метр.

• Частота (например, световой волны) измеряется в герцах (Гц), или циклах в секунду.

МАТЕМАТИКА

• = 3,1415926…; в задачах по астрономии, где ответ нужно дать с точностью до одной значащей цифры, часто вполне можно приближенно принять = 3.

• В круге 360 градусов, или 2 радиан. Градусная мера угла записывается со значком °.

• 1 радиан = 180° = 206 265 угловых секунд 200 000 угловых секунд

π

57,3°.

150

Орбиты и Ньютонова механика

• Малоугловая формула: угол (в радианах), противолежащий телу, приблизительно равен диаметру тела s , деленному на расстояние до тела d :

s

θ =. Эта формула применяется для маленьких углов, когда размер d тела много меньше расстояния до него. Это приближение пригодно для большинства задач в нашем сборнике.

• Длина окружности радиуса r составляет 2 r ; площадь круга радиуса r равна r 2.

• Площадь поверхности сферы r составляет 4 r 2; объем шара радиуса r равен 4 3 r

π.

3

ОРБИТЫ И НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА

• Второй закон Ньютона связывает полную силу F , действующую на тело массы m , с ускорением а , вызываемым этой силой: F = ma .

• Кинетическая энергия тела массы m , двигающегося со скоростью v , равна 1 2 mv .

2

• Ускорение а , необходимое, чтобы тело двигалось по окружности ра-

2 диуса r с постоянной скоростью v , равно v a =.

r

• Величина гравитационного взаимодействия (силы) между двумя телами массой М и m , расстояние между которыми равно r , составляет GMm / r 2, где G — гравитационная постоянная Ньютона.

• Потенциальная энергия маленького тела массы m на расстоянии r от центра большого сферического тела массы М равна потенциальная энергия

GMm

= −

,

r где G — гравитационная постоянная Ньютона.

151

Полезные численные величины и формулы

• Третий закон Кеплера гласит, что для орбит вокруг Солнца квадрат периода обращения Р пропорционален кубу большой полуоси орбиты а: Р 2

ן а 3. Если период выражается в годах, а большая полуось в астрономических единицах, коэффициент пропорциональности равен 1. В физических еди-

2 3 ницах ньютоновская форма третьего закона Кеплера выглядит как 2 4π a P =

.

GM

Если в качестве единиц взять годы, астрономические единицы и массу

3

2

Солнца, получится 2 a

P =, то есть в этих единицах постоянная4π = 1.

M

G

• Минимальное и максимальное расстояние планеты от материнской звезды на орбите с большой полуосью а и эксцентриситетом е равны а (1 — е ) и а (1 + е ) соответственно.

• Скорость тела на круглой орбите радиуса r вокруг тела массы М равна GM / r . Вторая космическая скорость при таком радиусе составляет

2 GM / r . Орбитальная скорость Земли вокруг Солнца ( r = 1 а. е., М = 1 масса Солнца) составляет 30 километров в секунду, а вторая космическая скорость с поверхности Земли ( r равен радиусу Земли, М равна массе Земли) примерно равна 11 километрам в секунду.

ТЕМПЕРАТУРА, СВЕТ И ЭНЕРГИЯ

• Температуру измеряют в кельвинах; температура в кельвинах — это температура в градусах Цельсия плюс 273,15. Кроме того, температуру измеряют в электроновольтах: средняя кинетическая энергия частицы с температурой Т равна 3/2 kT , где k — постоянная Больцмана. Температура

10 000 кельвин соответствует энергии 0,86 электроновольт.

• Светимость на единицу длины волны на единицу площади поверхности абсолютно черного тела температурой Т задается формулой

I (=

λ T )

2

2 hc

1.

5 hc

λ

λ kt e −1

152

Астрономические формулы и величины

Здесь h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, с — скорость света. Размерность этой величины — джоули в секунду на кубический метр. Для длин волн намного больших, чем длина волны, соответствующая максимуму интенсивности, эта формула упрощается до

() 2 ckT

I

=

λ T

.

4

λ

• Закон Стефана — Больцмана: энергия в единицу времени, излучаемая абсолютно черным телом с площадью поверхности А и температурой Т , равна

АТ 4, где — постоянная Стефана — Больцмана.

• Спектр абсолютно черного тела с температурой Т имеет максимум на длине волны 2,9/ Т мм, если Т измеряется в кельвинах.

• Длина волны и частота фотона связаны отношением = с , где с — скорость света. Энергия фотона равна произведению его частоты и постоянной Планка h .

• У света с длиной волны, испускаемого телом, которое движется

0 к нам или от нас со скоростью v , наблюдается сдвиг длины волны до величины, такой, что (— )/ = ± v / с (эффект Доплера): плюс — если

0

0 тело удаляется от нас, минус — если оно приближается к нам. Эта формула справедлива только для скоростей много меньших скорости света (нерелятивистский предел).

• Яркость b далекого объекта пропорциональна его светимости L , умноженной на обратный квадрат его расстояния r от нас: L

b =

.

2

4 r

π

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ И ВЕЛИЧИНЫ

• Равновесная температура планеты с альбедо А без парникового эффекта, находящейся на расстоянии d от звезды с температурой поверхности

Т

и радиусом r равна звезды звезды

153

Полезные численные величины и формулы

1/2

= (

⎛ r

⎞

T

1− A )1/4 звезды

T

⎜

⎟.

планеты звезды ⎝ 2 d ⎠

Для звезды с температурой и радиусом Солнца и планеты с А = 0 на расстоянии d = 1 а. е. от этой звезды это дает температуру около 300 К.

• Параллакс звезды в угловых секундах (полуугол ее смещения по небосводу), вызванный вращением Земли по орбите вокруг Солнца, — величина, обратная расстоянию до звезды в парсеках. В более общем смысле параллакс может относиться к видимому изменению положения любого объекта, вызванного движением наблюдателя.

• Солнце находится на расстоянии 25 000 световых лет от центра Млечного Пути и совершает полный оборот по орбите за 2,5 108 лет. Масса части