Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

120. аДля начала повторим квантовую механику. Вы уже знаете уравнение Е = h , которое связывает энергию фотона Е с его частотой, где величина h 2/3 10–26 эрг с — это постоянная Планка. Комптоновская длина волны частицы массы М — это длина волны фотона с такой же энергией, определяемой как Е = Мс 2. На самом деле мы сейчас обращаемся к так называемому

137

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная корпускулярно-волновому дуализму, лежащему в основе квантовой механики: согласно этому принципу, частица обладает еще и свойствами волны. На основании этого выведите формулу комптоновской длины волны для частицы массы М . Подсказка: для этого частоту надо перевести в длину волны .

120. bИтак, комптоновская длина волны отражает квантовую природу частицы, тогда как радиус Шварцшильда — ее гравитационную природу. Приравняйте две эти длины и задайтесь вопросом, какова масса черной дыры, которой в равной степени управляют и гравитация, и квантовая механика? Подставьте числа и выразите массу и в граммах, и в ГэВ (миллиардах электроновольт).

120. сС учетом только что выведенной массы вычислите соответствующее расстояние (т. е. радиус Шварцшильда этой массы) и время (время, за которое свет преодолеет это расстояние). Напишите формулы каждой из этих величин и подставьте числа; расстояние выразите в сантиметрах, а время в секундах. Время, которое вы только что нашли, и есть самый ранний момент, когда нынешние законы физики позволяют нам говорить о природе

Вселенной. До этого доминировали одновременно и квантовая механика, и ОТО, а поскольку нам так и не удалось примирить две эти теории, дальше мы двигаться не можем.

121. Самая неточная оценка за всю историю физики

В задаче 120 вы нашли так называемую планковскую массу и планковскую длину — масштабы, за пределами которых для исследований необходима квантовая теория гравитации. Природа темной энергии пока не известна в принципе, но одна обоснованная оценка гласит, что она как-то связана с природой квантовой гравитацией, а следовательно, должна обладать плотностью, равной планковской плотности.

121. аВычислите планковскую плотность, если известны планковская масса и планковская длина; выведите алгебраическую формулу и найдите числовое значение.

138

23. Инфляция и новейшие исследования в области космологии

121. bПомогает ли такая оценка плотности правдоподобно объяснить, откуда берется темное вещество? То есть насколько хороша ли эта «обоснованная оценка»? Чтобы определить это, вычислите плотность, которая обеспечивала бы наблюдаемое количество темной энергии. Отношение плотности темной энергии к критической плотности Вселенной, обозначаемое, по

данным измерений приблизительно равно 0,7. Найдите отношение планковской плотности к наблюдаемой плотности темной энергии, ответ поясните.

Если темная энергия и правда обладала бы плотностью, равной планковской, как должна была бы выглядеть история расширения Вселенной? Могли ли сформироваться галактики, звезды, планеты и люди?

122. Не такая уж и ошибка?

Наблюдения далеких сверхновых показывают, что сегодня Вселенная расширяется с ускорением. Если бы Эйнштейн дожил до наших дней и услышал эту новость, почему он сказал бы, что величайшая ошибка в его жизни — не такая уж и ошибка? Почему результаты исследований сверхновых, возможно, порадовали Алана Гута, создателя теории инфляции?

123. Большой взрыв

Теория Большого взрыва дает естественное объяснение целому ряду явлений, наблюдаемых во Вселенной. Напишите сочинение об этих явлениях и о том, как их объясняет Большой взрыв. В частности, обязательно расскажите, что означает красное смещение галактик, обилие водорода и гелия, разные оценки возраста Вселенной и всевозможные параметры космического фонового микроволнового излучения, в том числе его спектр, температура и изотропия.

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

24

НАШЕ БУДУЩЕЕ ВО ВСЕЛЕННОЙ

124. Путь на Марс

Предположим, вы хотите колонизировать Марс. В какой-то момент вам придется отправить на Марс космический корабль с людьми на борту. Самый экономичный способ сделать это — отправить астронавтов по так называемой «гомановской траектории». В рамках этой задачи считайте, что и Земля, и Марс вращаются по круглым компланарным орбитам (это вполне точное приближение). Радиусы орбит Земли и Марса составляют соответственно

1 а. е. и 1,524 а. е. В таком случае гомановская эллиптическая орбита — это простая кеплеровская эллиптическая орбита с минимальным расстоянием от

Солнца, равным 1 а. е., и максимальным, равным 1,524 а. е. На минимальном расстоянии от Солнца гомановская орбита пересекает орбиту Земли, а на максимальном отдалении — орбиту Марса. Тогда можно воспользоваться этой орбитой, чтобы попасть с Земли на Марс. Чтобы попасть на нее, нужно улететь с Земли и придать ракете импульс в направлении орбитального движения Земли. Затем ракета, увеличив скорость по орбите, перейдет на гомановскую эллиптическую орбиту и полетит по ней от Земли, пока не достигнет максимального расстояния от Солнца в 1,524 а. е. Нужно всего-навсего рассчитать полет так, чтобы Марс оказался в этой точке как раз к вашему прибытию! Затем корабль войдет в марсианскую атмосферу и затормозит-

140

24. Наше будущее во Вселенной ся, защищенный тепловым экраном. После этого можно раскрыть большой парашют и еще сильнее затормозиться в атмосфере, и наконец, включить тормозные ракеты, которые еще сильнее замедлят полет и обеспечат мягкую посадку на поверхности. На основании законов Кеплера рассчитайте, сколько времени уйдет у вашей ракеты на путешествие с Земли на Марс. Здесь пригодится калькулятор. Подсказка: большая полуось — это среднее между расстояниями от Солнца до ракеты в самой близкой и самой дальней точке.

125. Путешествия к другим звездам: солнечные паруса

Эта задача позволит нам исследовать футуристический способ межзвездных перелетов.

Солнечный парус для перемещения в пространстве ловит не ветер (его не может быть в космическом вакууме), а давление света как такового. У фотона есть не только энергия, но и импульс, равный его энергии, поделенной на скорость света.

Когда много фотонов попадает на отражающую поверхность, они отражаются и передают поверхности импульс в два раза больше первоначального (вы ведь понимаете, откуда берется множитель 2?). Общая сила воздействия на поверхность, то есть количество импульса, сообщаемое за единицу времени, составляет энергия, полученная поверхностью за единицу времени сила = 2×

.

скорость света