Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

117. еТраектория эклиптики на картах звездного неба проходит через зодиакальные созвездия. Подумайте, как они отражаются на гномонической проекции. В евклидовой геометрии через точку, не принадлежащую прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная первой. То есть параллельные прямые (геодезические линии в планиметрии) не пересекаются.

На сфере две большие окружности (геодезические линии в сферической геометрии) пересекаются всегда . И все же гномоническая проекция показывает большие окружности как прямые. Сравните эклиптику, которую вы только что начертили, с небесным экватором, и примирите эти противоречивые на первый взгляд утверждения.

117. fБольшая окружность на небесной сфере связывает звезду альфа

Центавра с Северным полюсом мира (где расположена Полярная звезда).

Это, разумеется, и есть геодезическая линия, которая соединяет две точки

(то есть кратчайшее расстояние на небесной сфере между альфой Центавра и Полярной звездой). Нарисуйте эту большую окружность на карте сплошной линией и надпишите.

133

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

117. gНарисуйте точечной линией на карте кратчайший путь на поверхности куба от альфы Центавра к Полярной звезде. Подпишите эту линию.

То есть, если бы вы были муравьем и ползли по поверхности куба, каким был бы ваш кратчайший путь от альфы Центавра до Полярной звезды?

Совпадает ли он с линией, которую вы начертили в части f)? Если да, то почему? Если нет, то почему?

117. hНа небесной сфере можно нарисовать геодезический треугольник (то есть треугольник, три стороны которого лежат на больших окружностях), у которого все три угла будут прямые. Он связывает Южный полюс небесной сферы и две точки на небесном экваторе, находящиеся на расстоянии 90° друг от друга по экватору. Начертите штрих-пунктиром такой треугольник на картах звездного неба и пометьте его вершины — А, В и С.

Теперь возьмем изображение этого треугольника на плоскости: все три его угла прямые, то есть в сумме дают 270°. На плоскости сумма углов треугольника равна 180°. К тому же гномоническая проекция показывает большие окружности как прямые линии. Тогда какой будет сумма углов проекции этого сферического треугольника с тремя прямыми углами — 180°

или больше? Ответ обоснуйте.

118. Доктор Кто во Флатландии

Знаменитый Доктор Кто путешествует при помощи ТАРДИС, которая на вид точь-в-точь как телефонная будка. Открой дверь и войди — внутри окажется просторная комната, по объему куда больше, чем можно заключить по внешним габаритам. Все, кто входит в ТАРДИС, говорят: «Внутри она больше, чем снаружи!» Из этой задачи мы узнаем, как такое могло бы быть, если бы Доктор Кто был флатландец и жил во Флатландии — в пространстве-времени, где только два пространственных измерения.

ТАРДИС в таком случае выглядела бы как на рис. 7: кубическая коробка размером 1 метр на 1 метр на 1 метр без крышки, приклеенная к квадратному отверстию размером 1 метр на 1 метр в плоскости Флат-

134

22. Контуры Вселенной и Большой взрыв ландии. Флатландец, попавший в ТАРДИС, соскользнул бы по одной из четырех сторон коробки на ее дно. Вся конструкция похожа на бесконечную кухонную столешницу со врезанной в нее квадратной кухонной мойкой.

У нее единая двумерная поверхность. Флатландец смотрит на внешнюю часть ТАРДИС и думает, что поскольку это квадрат со стороной 1 метр, его площадь составит 1 квадратный метр. Но на самом деле внутренняя поверхность ТАРДИС имеет площадь 5 квадратных метров: площадь каждой из четырех стенок мойки, а также дна мойки равна 1 квадратному метру.

Внутри больше, чем снаружи!

Рис. 7.Схема к задаче 118. Такой была бы геометрия ТАРДИС

во флатландском варианте «Доктора Кто»: ее площадь внутри значительно больше, чем снаружи.

ТАРДИС возникла благодаря воздействию гравитации на восемь точечных масс: четыре на вершинах верхних углов мойки и четыре на вершинах у ее дна. Массовая плотность во Флатландии измеряется в единицах массы на длину2. Согласно ОТО, такая массовая плотность эквивалентна кривизне, которая измеряется в 1/длина2, поэтому масса во Флатландии не имеет размерности.

Пространство-время в окрестностях точечной массы во Флатландии имеет форму конуса, дефект угла в радианах (то есть отличие угла от

2 радиан или 360°) равен массе. Например, в равнобедренном тетраэдре в каждой вершине сходятся три равносторонние треугольные плоскости с углами 60°, что составляет 180°, а не 360°, чего мы ожидали бы для точки на плоскости, что дает дефект в 360° — 180° = 180°, то есть в радиан. Та-

135

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная ким образом, каждая вершина тетраэдра — это точка с массой. Обратите внимание, что во Флатландии масса может быть не только положительной, но и отрицательной.

118. аСколько массы (в радианах) содержит каждый угол ТАРДИС?

118. bКакова общая масса ТАРДИС?

118. сИмеет ли смысл ответ на часть b), если учитывать форму пространства вне ТАРДИС?

119. Короткие вопросы о форме Вселенной

На эти вопросы мы ждем ответов в несколько фраз, не больше.

119. аЦель теории Калуцы — Клейна — объединить гравитацию и электромагнетизм в единую теоретическую конструкцию с опорой на четыре пространственных измерения и одно временное. ДА или НЕТ?

119. bКакое предсказание сделали Гамов и его коллеги Герман и

Альфер в 1948 году и подтвердили Пензиас и Уилсон в 1965 году? Почему это было важно?

119. сВ 1922 году Александр Фридман предложил три варианта геометрии Вселенной. Опишите их.

119. dКакова сумма углов треугольника в замкнутой Вселенной Фридмана (модель, где нет космологической постоянной), где рано или поздно происходит Большое сжатие — больше, меньше или равна 180°?

119. еЧто Эйнштейн считал своей величайшей ошибкой?

23. Инфляция и новейшие исследования в области космологии

23

ИНФЛЯЦИЯ И НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

В ОБЛАСТИ КОСМОЛОГИИ

120. Самый первый миг

В этой задаче мы выясним, насколько далеко в прошлое позволяют заглянуть известные нам законы физики. Как мы уже видели, гравитация объясняет поведение очень больших и очень массивных тел, а микромир описывает квантовая механика. В очень ранней Вселенной плотность была невероятно велика, поэтому очень маленькое могло быть очень массивным, и эффекты ОТО и квантовой механики играли одинаково важную роль. Эта задача поможет нам установить, в какой момент истории Вселенной это было именно так. Физики пока не сумели создать квантовую теорию гравитации, так что этот момент устанавливает предел нашей нынешней способности задавать вопросы о ранней Вселенной.