Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Путь, всего в 25 000 световых лет от нас. Сейчас мы рассчитаем ее свойства.

Обратите внимание на связанную с этой задачу 74.

107. аВокруг черной дыры вращается звезда; большая полуось ее орбиты составляет 1000 а. е. Орбитальный период составляет 16 лет. Какова масса черной дыры? Ответ выразите в массах Солнца.

107. bОт Земли до центра нашей Галактики 8000 парсек, то есть около

25 000 световых лет. Какому углу противолежит большая полуось орбиты звезды (1000 а. е.), если смотреть с Земли? Ответ выразите в угловых секундах.

107. сКаков радиус горизонта событий черной дыры в центре Галактики (радиус Шварцшильда)? Ответ выразите в километрах.

108. Короткие вопросы о черных дырах

108. аЧерная дыра при падении в нее вещества увеличивается в массе и в размерах. Может ли масса черной дыры уменьшаться? Ответ поясните.

119

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

108. bДжон Уилер был одним из самых оригинальных физиков нашего времени. Какой известный астрономический термин он ввел в обращение?

Какие идеи для дальнейших исследований он подсказал Яакову Бекенштейну и Ричарду Фейнману?

108. сЧерные дыры испускают излучение Хокинга. ДА или НЕТ?

108. dЧерные дыры совершенно стабильны и со временем могут лишь наращивать массу. Они будут жить вечно. ДА или НЕТ?

109. Большие черные дыры

В этой задаче мы исследуем радиусы Шварцшильда и приливные силы у черных дыр различных масс. Радиус Шварцшильда черной дыры массы

М задается формулой 2 GM / c 2.

Рассмотрим маленький объект радиуса r на расстоянии d от другого объекта, гораздо большего размера и массы М . Разница между ускорением свободного падения на линии, разделяющей два объекта, на поверхности и в центре первого объекта под воздействием гравитации второго составит

2

Приливное ускорение

GMr

=

.

3 d

(Это выражение мы вывели в задаче 63 в несколько ином контексте).

Разница в ускорении действует на разрыв объекта, и это называется приливным ускорением. Вычислите радиусы Шварцшильда и приливное ускорение на расстоянии d = 2 R

для объекта радиуса r = 1 м (то

Шварцшильда есть размером примерно с человека) для черных дыр массой 30 масс Солнца

(примерно такой массой обладала каждая из двух черных дыр, столкновение которых недавно удалось зарегистрировать с помощью гравитационных волн), 4 106 масс Солнца (масса черной дыры в центре Млечного Пути) и

109 масс Солнца (масса черных дыр, предположительно питающих квазары с самой большой светимостью).

120

20. Черные дыры

110. Задача автостопщика

Задача повышенной сложности

Полный свод правил [броккийского ультра-крикета] столь массивен и сложен, что первая же попытка собрать их в одной книге потерпела фиаско: сколлапсировав под собственной тяжестью, правила образовали Черную Дыру*.

Такая цитата прямо напрашивается на проверку вычислений. В этой задаче мы ответим на вызов Адамса и определим, так ли уж сложны на самом деле были эти правила.

Тело коллапсирует в черную дыру, если его радиус равен радиусу черной дыры той же массы; при этих условиях вторая космическая скорость с его поверхности равна скорости света, что, в сущности, и есть определение черной дыры. Вышесказанное можно перефразировать: тело данной массы коллапсирует в черную дыру, когда его плотность равна плотности черной дыры той же массы.

110. аВыведите формулу эффективной плотности черной дыры массы М . Считайте объем черной дыры объемом сферы с радиусом, заданным радиусом Шварцшильда. Что происходит с плотностью при росте массы черной дыры — она растет или уменьшается?

110. bОпределите плотность бумаги, на которой напечатаны «Правила броккийского ультра-крикета», в килограммах на кубический метр. Обычная бумага обладает поверхностной плотностью 75 граммов на квадратный метр и толщиной 0,1 мм.

110. сВычислите массу (в массах Солнца) и радиус (в а. е.) черной дыры, с плотностью, равной плотности такой бумаги.

110. dСколько страниц в «Правилах броккийского ультра-крикета»? Предположим, что его страницы стандартного размера (8,5 дюй-

* Дуглас Адамс, «Жизнь, Вселенная и все остальное» (том 3 серии «Путеводитель по галактике для путешествующих автостопом», 1982), глава 19 (пер. В. Баканова).

121

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная ма 11 дюймов). Для простоты вычислений считайте книгу сферической

(обычное приближение для таких задач). Что было бы, если бы книга была даже длиннее, чем вы только что вычислили? Сколлапсировала бы она в черную дыру?

111. Столкновение черных дыр!

Четырнадцатого сентября 2015 года Лазерно-интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория (ЛИГО, LIGO) уловила сигнал от пары столкнувшихся черных дыр. Сигналом была гравитационная волна, пришедшая на детектор. Коротко говоря, обсерватория ЛИГО использует лазеры, чтобы с большой точностью измерять расстояние между парами зеркал, находящимися в 4 километрах друг от друга; когда приходит гравитационная волна, это расстояние периодически осциллирует с крошечной амплитудой.

111. аПеред самым столкновением черных дыр, отмеченным пиком гравитационного излучения, период осцилляций составлял 0,004 с (что соответствует частоте 250 Гц, то есть немного ниже «до» первой октавы на фортепиано).

Когда две черные дыры собираются слиться, их горизонты событий соприкасаются, и черные дыры вращаются друг вокруг друга по орбитам со скоростями, близкими к скорости света. Вычислите массу черных дыр на основании этих данных. Для простоты предположите, что масса черных дыр одинакова. Ответ выразите в массах Солнца с точностью до одной значащей цифры.

111. bДетальная модель сигнала от гравитационной волны 14 сентября

2015 года показала, что две первоначальные черные дыры обладали массами

36 и 29 масс Солнца (то есть наше предположение, что их массы равны, было вполне правомочным). Они слились и создали одну черную дыру с массой 62 массы Солнца. Разница — 3 массы Солнца — была преобразована в энергию и излучилась в виде гравитационных волн, которые и удалось в конце концов зарегистрировать на Земле. Эта энергия высвободилась примерно за 0,02 с. Вычислите светимость этой вспышки в ваттах.

122

20. Черные дыры

111. сНайдите светимость в видимом свете всех галактик в наблюдаемой Вселенной. Для этого примите общее количество галактик за 1011 и предположите, что в каждой галактике содержится 1011 звезд со светимостью, равной светимости Солнца (см. задачу 69). Каково отношение светимости сливающихся черных дыр и светимости всей наблюдаемой Вселенной?