Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

90. bТеперь возьмем противоположный предел, то есть скорости, очень близкие к скорости света. На этот раз запишем х = v / c = 1 —, где уже ا 1. Подставьте это выражение в уравнение для Лоренц-фактора; как и в части а), если значение мало, то значение 2 совсем мало и им можно пренебречь. Запишите уравнение для Лоренц-фактора и в этом случае.

90. сТеперь пора подставлять числа. Нарисуйте график Лоренц-фактора как функции скорости, где по оси х отложена скорость от 0 до скорости света, а на оси у величина от 0 до 1. Подставьте в уравнение много значений v и вычислите значение Лоренц-фактора в каждом случае; нанесите эти точки на график. График можете нарисовать и от руки, и на компьютере при помощи специальных приложений.

Теперь изобразите на том же графике две приближенных функции, которые вы вычислили в частях а) и b), и для малых, и для больших скоростей. Для какого диапазона скоростей приближенно годится каждое из этих решений? То есть, в каком диапазоне каждое из приближений дает результат в пределах 10 % от реальной величины?

90. dКаково значение у для v = 100 км/ч (обычная скорость для автотрассы), v = 30 км/с (скорость Земли на орбите вокруг Солнца), v = 0,6 с, v = 0,8 с и v = 0,9999995 с ? Применяйте только что выведенные приближенные формулы, поскольку они достаточно точны. Если вы вдруг поймаете себя на округлении и заявлениях, что у = 1 или у = 0, вы округлили слишком сильно! В этой задаче главное — именно отличие ваших результатов от у = 1 (для очень маленьких скоростей) и у = 0 (для очень больших скоростей).

106

17—18. Эйнштейновский путь к специальной теории относительности

91. Высокоскоростные мюоны

Мюон — это частица, очень похожая на электрон, только масса у нее больше. Мюоны, в отличие от электронов, нестабильны, период полураспада у них примерно 2,2 10–6 с, и они распадаются на электрон, мюонное нейтрино и электронное антинейтрино. Очень быстрые мюоны рождаются в верхних слоях земной атмосферы (скажем, в 100 км над поверхностью

Земли), когда высокоэнергичные космические лучи (порожденные далекими сверхновыми) сталкиваются с атомами атмосферы. Эти мюоны мчатся вниз, и их регистрируют на поверхности. Типичный атмосферный мюон движется со скоростью 0,9999995 с , то есть (1–5 10–7) с . Если принять в расчет замедление времени в соответствии со специальной теорией относительности, какое расстояние преодолеет мюон до распада (то есть до истечения периода полураспада)? Теперь проделайте те же вычисления без учета эффектов СТО. Поясните, можно ли считать, что если мы наблюдаем мюоны, возникшие в 100 км от нас, это подтверждает предсказание Эйнштейна, что время в быстродвижущейся системе отсчета замедляется?

92. Высокоэнергичные космические лучи

Формулу кинетической энергии мы знаем: тело массы m , движущееся со скоростью v , имеет кинетическую энергию 1 2 mv . Однако это уравнение

2 неверно при очень высоких скоростях. Правильная версия этой формулы в рамках СТО гласит, что полная энергия тела, сумма его массы-энергии покоя (то есть mc 2) и кинетической энергии, равна mc 2/ у , где Лоренц-фактор

2

= 1 v y

−.

2 c

Одна из самых высокоэнергичных частиц космических лучей за всю историю наблюдений была зарегистрирована в 1991 году и обладала энергией около 3 1020 электроновольт; эта конкретная частица получила название «частица Oh-My-God » — «О Боже мой», что доказывает, что у астрономов

107

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная довольно-таки незатейливое чувство юмора. Вероятно, это был протон, чья масса-энергия покоя ( mc 2) составляет около 109 электроновольт. С какой скоростью двигался этот протон? Ответ запишите как долю скорости света.

Эта доля будет очень близка к единице, но не равна ей, поэтому запишите ответ в виде с (1 —), как в задаче 90.b, и укажите значение.

93. А «Титаник» все плывет

Поиграем в релятивистские игры с огромным кораблем «Титаник».

93. аДлина «Титаника» от носа до кормы составляла 882,5 фута. Если бы он проплыл мимо пристани на очень высокой скорости, люди с пристани увидели бы, что он несколько короче 882,5 футов за счет эффектов СТО.

С какой скоростью «Титаник» должен проплыть мимо пристани, чтобы люди на ней решили, будто его длина 882,4 фута? Почему мы не замечаем сокращения расстояний за счет эффектов СТО в повседневной жизни?

93. bТеперь начнем с того, что «Титаник» стоит в порту, и поднимем его на высоту 51,3 км над Нью-Йорком. А потом уроним. Если пренебречь сопротивлением воздуха, когда корабль ударится о Землю, его скорость составит 1 км/с — Джек, я лечу!

Масса «Титаника» была около 45 000 метрических тонн, где 1 метрическая тонна равна 106 граммов. Вычислите энергию взрыва при его падении в килотоннах тринитротолуола (ТНТ). При взрыве одна килотонна ТНТ

высвобождает энергию 4,2 1012 Дж.

93. сВычислите массу, которая должна аннигилировать, чтобы произвести столь же энергичный взрыв.

94. Стареющий астронавт

Астронавт летит с Земли на альфу Центавра (в 4 световых годах отсюда) со скоростью, равной 80 % скорости света. На сколько старше станет астронавт, когда прибудет на альфу Центавра? Ответ выразите в годах.

108

17—18. Эйнштейновский путь к специальной теории относительности

95. Разлуки и встречи

Вы приходите на встречу выпускников по случаю пятидесятилетия окончания своего колледжа. Там вы встречаете соседа по комнате, который, оказывается, все время после выпуска провел в космическом путешествии на соседнюю звезду и обратно, причем летел с постоянной скоростью. Сосед говорит, как приятно встретиться через сорок лет.

— Нет, это уже пятидесятая встреча! — возражаете вы.

Сосед отвечает:

— Я внимательно следил за временем по часам на корабле, и с нашего выпуска прошло ровно сорок лет.

С какой скоростью летел корабль? Ответ выразите в долях скорости света. На каком расстоянии находится звезда, где побывал ваш сосед

(в световых годах по вашим измерениям)? Два наших студента, кстати, близнецы, как-то даже написали научно-фантастический рассказ с таким сюжетом!

96. Путешествие к другой звезде

У звезды Глизе (Gliese) 581 есть планета, которая вращается вокруг нее в обитаемой зоне (то есть на поверхности планеты, вероятно, может существовать вода в жидком состоянии). Представьте себе, что на этой планете живет высокоразвитая цивилизация, которая отправила на Землю космический корабль, движущийся относительно нас со скоростью 80 %

скорости света. Расстояние между Глизе 581 и Землей (по нашим измерениям) 20 световых лет.