Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

103. сНарисуйте на своей карте треугольник АВС с тремя прямыми углами. Пометьте три точки А, В и С и покажите, какие геодезические линии соединяют их на карте.

103. dОбъясните, почему на поверхности банки возможен прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами, который нарушает постулаты евклидовой геометрии, даже несмотря на то, что приведенная на рисунке карта проецируется на плоскость без искажений.

104. Отрицательная масса

Если одновременно уронить мяч массой 1 килограмм и мяч весом 2 килограмма, они упадут на пол и ударятся об него одновременно. А теперь

114

19. Общая теория относительности Эйнштейна представьте себе, что у вас есть мяч с отрицательной массой 1 килограмм.

Что будет, если уронить его — он упадет на пол и ударится об него или «упадет» вверх и ударится о потолок? Ответьте на этот вопрос так, словно вы Ньютон, и так, словно вы Эйнштейн. Что сказал бы Ньютон? Почему?

Что сказал бы Эйнштейн и почему? Изложите ход их мысли; если нужно, примените формулы.

105. Старение на орбите

Задача повышенной сложности

Помимо замедления старения при движении тела с конечной скоростью, о котором мы уже знаем из СТО, есть еще и замедление старения согласно общей теории относительности (ОТО), вызванное гравитацией как таковой.

Чтобы понять, в чем состоит этот эффект, рассмотрим фотон, улетающий с поверхности Земли в бесконечность. Он выбирается из гравитационного колодца Земли и попутно теряет энергию. Его энергия Е связана с его частотой формулой Эйнштейна Е = h , поэтому тоже должна снижаться

(это отдельный вид красного смещения), поэтому наблюдатели на большом расстоянии r видят, что часы на поверхности Земли тикают с более низкой частотой.

Таким образом, астронавт, вращающийся вокруг Земли, стареет не так, как оставшиеся на Земле, по двум причинам: и из-за гравитации, и из-за замедления времени, вызванного движением. В этой задаче вы количественно оцените оба эффекта и сравните их значение.

105. аВторая космическая скорость, позволяющая преодолеть гравитацию тела массы М , если находишься от него на расстоянии r , задается формулой

2 GM

v

=

.

escape r

115

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

То есть, если двигаться с такой скоростью, обратно на тело не упадешь, а навсегда вырвешься из его гравитационного поля.

Решение эйнштейновских уравнений поля в общей теории относительности, предложенное Карлом Шварцшильдом, показывает, что стационарные неподвижные часы на расстоянии от Земли r > r будут идти с отставанием

на множитель

2

1 2 GM

v

⊕

escape

1−

= 1−

2

2 c r c по сравнению с часами, расположенными далеко от Земли, то есть на r . Обратите внимание, что это выражение похоже на эквивалент формулы старения из СТО. Здесь — это знак Земли, так что r — это радиус

Земли, а М — ее масса. Используйте формулу, приведенную выше, чтобы

вычислить, в каком темпе будут идти стационарные часы на расстоянии r (для r > r ) относительно часов на поверхности Земли. Больше или меньше

единицы получившийся у вас множитель? Если больше единицы, значит, часы на большой высоте r > r идут быстрее, чем на поверхности, а если

меньше единицы, значит, часы на большой высоте идут медленнее, чем на поверхности.

105. bТеперь представим себе астронавта на орбите, радиус которой r > r . Какова орбитальная скорость астронавта как функция r ? Поскольку

астронавт движется относительно стационарного объекта на расстоянии r , СТО учит нас, что часы у него идут медленнее. Вычислите отношение темпа хода часов у астронавта с темпом хода часов у неподвижного наблюдателя на расстоянии r .

105. сТеперь на основании ответов на части а) и b) напишите выражение для отношения темпа, в котором идут часы у астронавта на орбите, к темпу стационарных часов на поверхности Земли, как функции радиуса r орбиты, на которой вращается астронавт. Маленькой скоростью часов на

Земле, вызванной вращением Земли, можете пренебречь.

116

19. Общая теория относительности Эйнштейна

105. dНам нужно овладеть некоторыми полезными математическими фокусами, чтобы упростить выражение из части с). Сначала покажите, что если х ا 1, то

1

1− x ≈ 1− x . Подсказка: извлеките квадратный корень

2 из обеих частей выражения и посмотрите, что получится.

105. еНам понадобится еще одно простое приближение. Покажите, что если | х | ا 1, то

1 ≈1+ x .

1− x

Подсказка: домножьте обе части на (1 — х).

Кроме того, покажите, что если и | х | ا 1, и | у | ا 1, то

(1− x )(1− y ) ≈ 1−( x + y ).

105. fПримените приближения из частей d) и е), чтобы вывести окончательный ответ в форме 1 — для темпа часов, вращающихся по орбите вместе с астронавтом, относительно часов на поверхности Земли. Докажите, что ваша величина и в самом деле много меньше единицы.

105. gНа основании результата из части f) вычислите радиус r , на котором часы астронавта на орбите идут точно так же, как и стационарные часы на поверхности Земли, результат выразите в радиусах Земли и в километрах.

Если астронавт будет вращаться по орбите меньшего радиуса, как он будет стареть, быстрее или медленнее того, кто остался дома? А тогда быстрее или медленнее оставшихся дома землян стареют астронавты в космическом шаттле (вращающемся по орбите в 300 км над поверхностью Земли)?

106. Короткие вопросы по общей теории относительности

На каждый вопрос мы ждем ответов не длиннее нескольких фраз.

106. аЭйнштейн для истолкования гравитации применял идею искривления пространства-времени. ДА или НЕТ?

117

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

106. bЧто такое геодезическая линия?

106. сРасскажите о мысленном эксперименте Эйнштейна, где сравнивалась лаборатория на поверхности Земли и лаборатория на ускоряющейся ракете в межзвездном пространстве, и назовите теорию, к созданию которой его подтолкнул этот эксперимент.

106. dКакие два важных предсказания сделал Эйнштейн в 1915 году, когда создал общую теорию относительности, отличавшуюся от теории всемирного тяготения Ньютона? Какое предсказание точно соответствовало уже имевшимся наблюдениям, а какое потребовало новой экспериментальной проверки? Какой была эта проверка, когда ее провели и каким был результат?

20. Черные дыры

20

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ

107. Черная дыра в центре Млечного Пути

Черные дыры существуют! Ближайшая крупная («сверхмассивная» на жаргоне астрономов) черная дыра находится в центре галактики Млечный