Хаим Шапира - Гладиаторы, пираты и игры на доверии. Как нами правят теория игр, стратегия и вероятности

Как и большинство людей, врачи слишком часто неверно понимают концепцию вероятностей (разве что в их случае это опаснее). В своей книге «Иррациональность» [25] Книга, написанная в 1991 г., вышла в новом издании с предисловием Бена Голдакра: Sutherland Stuart . Irrationality: The Enemy Within. 21st anniversary ed. Pinter & Martin, London, 2013. , впервые опубликованной в 1992 г., британский психолог и литератор Стюарт Сазерленд упоминает одно исследование, проведенное в США. Врачам рассказывали вот о такой гипотезе. Как полагают, некий тест способен проявить особую болезнь. Если человек болен, вероятность того, что тест это покажет, составляет 92 %, или 0,92. Потом врачей спросили: «Какова вероятность того, что пациент и правда болен, если тест дал положительный результат?» И это поразительно – по крайней мере, для людей, знающих математику, – но врачи совершенно не поняли, что их спрашивали о двух совершенно разных вещах. Как им казалось, вероятность болезни пациента при положительном исходе теста тоже равнялась 92 %! (Версии этого вопроса появляются во многих учебниках по теории вероятностей для студентов, изучающих естественные науки. Я уже не говорю о том странном факте, что в медицинских терминах «положительный» исход – это наличие у вас болезни.)

Вот простой пример, который объяснит, какую ошибку допустили врачи. Если я пойму, что на улице дождь, то вероятность того, что я захвачу зонт, выходя из дома, равна 100 %. Но вероятность того, что дождь пойдет в том случае, если я захвачу с собой зонт, не подходит к 100 % даже и близко. Это две совершенно разные вещи – и вероятности этих событий тоже совершенно различны. Равно так же, как если человек болен, то тест выявит это с вероятностью 92 %. И все же вероятность того, что человек, проходящий проверку, действительно болен, если тест дал положительный результат, – это абсолютно иное дело. Предположим, это тест на очень страшную болезнь: если он оказался положительным, следует ли немедленно впадать в панику? Вовсе нет. Если мы хотим узнать точную вероятность того, что наш пациент болен, нам нужно больше данных. Например, мы должны выяснить и то, сколь велика часть населения, охваченная болезнью, и то, каким является процентное отношение ложноположительных исходов – ситуаций, при которых тест показывает, что больны здоровые люди, – к общему числу всех исходов.

Понять, сколь часто вероятность болезни не подходит и близко к 92 %, поможет простой пример. Предположим, что эта болезнь поразила всего 1 % населения, а тест дает 1 % ложноположительных исходов (один человек из ста ошибочно определяется как заболевший). Пойдем дальше и, для ясности, предположим, что мы проверили 100 человек и один из них заболел. Более того, будем великодушнее, нежели творцы предыдущей гипотезы: пусть тест способен точно выявить этого больного человека, а в оставшихся 99 тестах будет один ложноположительный исход. Если коротко, то из 100 человек тест определит двоих заболевших, но только один из этих двоих будет болен на самом деле. Значит, когда тест дает положительный результат, вероятность того, что люди, проходящие осмотр, на самом деле больны, составляет точно 50 % (!), что и близко не подходит к отметке 92 %.

Когда врач ставит неверный диагноз, последствия могут быть ужасными. Так не следует ли врачам, судьям и другим людям, влияющим на нашу жизнь, научиться тому, как правильно обращаться с вероятностями?

Пока вы усваиваете эти новые сведения, позвольте привести еще один пример. Предположим, что ФБР решило раз и навсегда выяснить, кто на самом деле убил Джона Кеннеди. После долгих лет расследований, не оставляя ничего на волю случая, прилежные агенты составили список всех подозреваемых. Им предстоит опросить миллион человек (я слегка округлил число) – и всем устраивают проверку на детекторе лжи. Теперь предположим, что в том случае, когда люди лгут, детектор лжи выявляет их лживость в 98 % случаев, но при этом дает 5 % ложноположительных исходов (ошибочно определяет честных людей как лжецов). И еще предположим, что все подозреваемые – весь миллион – отрицают любую связь с убийством Кеннеди.

Из уважения к изобретателям полиграфа позвольте внести в гипотезу такое уточнение: когда будут допрашивать настоящего убийцу и он будет отрицать свою причастность, машина непременно подаст сигнал о том, что он лжет. Ну и что с того? Она сделает то же самое еще для 50 000 человек (к сожалению, 5 % от миллиона – это 50 000), и теперь число наших положительных исходов составляет 50 001. Такое чувство, что у нас тут действовала целая банда. Вероятность найти среди этих подозреваемых одного-единственного человека, совершившего убийство, составляет 1:50 001.

Думаю, вы начинаете понимать, почему у нас столько сложностей с неясными тестами, которые пытаются точно выявить отдельно взятый случай (на болезнь, которая поражает одного из каждой тысячи, или на одного убийцу среди миллиона человек). Эти поразительные результаты известны как «загадка ложноположительных исходов». На самом деле наш тест дал «почти достоверные» результаты – но, когда это самое «почти» объединяется с редкостью проверяемого события, итоги могут оказаться совершенно непредсказуемыми.

Вывод ясен: тест, не дающий абсолютно точных результатов, не сможет эффективно выявить редкий случай.

В этой главе я представлю проблему аэропорта, связанную с пониманием справедливости в свете теории игр. Итак, можно ли сделать справедливость справедливой?

Даже старики не могли вспомнить, когда еще в их доме разражался столь яростный спор. Все началось с того, что Джон, который жил на верхнем (четвертом) этаже со своей женой и двухмесячными близняшками, предложил – или, скорее, умолил – установить лифт в их комфортабельной малоэтажке. А помимо того Джон хотел, чтобы все заплатили поровну. Спор начался, когда Эдриен, живший в одиночестве в съемной квартире на цокольном этаже, сказал, что не заплатит ни гроша, ведь ему лифт и даром не нужен и пользоваться им он не будет. Сара, жившая на втором этаже со своим мужем Джеймсом и двумя кошками, высказалась в духе того, что они, конечно, внесут свою лепту, но только символическую – так, идею поддержать. Джеймс, гордый спортсмен, никогда не поедет на лифте. А ей лифт будет нужен только тогда, когда доставка из бакалеи окажется слишком тяжелой. Джейн с третьего этажа уверяла в том, что…

Впрочем, не важно, в чем уверяла Джейн. Можете представить такие споры: они случаются непрестанно. И как разделить цену установки лифта, когда жильцы живут на разных этажах?

Я мог бы рассказать, но лифты – это скучно. Лучше расскажу вам про аэропорт.