Хаим Шапира - Гладиаторы, пираты и игры на доверии. Как нами правят теория игр, стратегия и вероятности

Когда я провожу семинар или лекцию по теории вероятностей, слушатели всегда дают один и тот же ответ: «Есть только два варианта: орел или решка. Значит, шансы – 50 на 50, или половина случаев при каждом подбрасывании». Здесь я снова усложняю им жизнь и предлагаю другой пример. Поскольку мы говорим о вероятностях, Элвис Пресли может войти к нам в аудиторию и спеть Love Me Tender – или не может. Опять же, здесь два варианта – но я бы не сказал, что шансы составляют 50 на 50. Можно подумать и о других вещах, не столь очаровательных. Прямо сейчас, пока я пишу эти строки, потолок над моей головой может обрушиться и упасть – но, опять же, может и не упасть. Если бы я считал, что шансы любого исхода – 50 на 50, я бы выбежал из комнаты сломя голову, хотя мне и нравится писать. Или еще пример: моему другу удалили миндалины. У нас снова два варианта: либо он переживет операцию, либо нет. Все его друзья надеялись на счастливый финал и были почти уверены в том, что в этом случае шансы на благополучный исход гораздо выше, чем 50 %.

Мы могли бы привести немало примеров, но принцип ясен: даже когда вариантов исхода только два, шансы необязательно составят 50 на 50. Даже если эта идея генетически впечатана в наш разум, тесная связь двух вариантов и шансов 50 на 50 почти всегда оказывается неверной.

Так почему же тогда люди говорят, что подброшенная монета в половине случаев упадет вверх орлом, а в другой половине случаев – решкой? Правда в том, что у нас нет возможности узнать это достоверно. Это вам не «факт Бенджамина Франклина». Если мы хотим проверить, действительно ли шансы составляют «половину», нам следует нанять новоиспеченного пенсионера с массой свободного времени, дать ему монету и попросить подбросить ее много-много раз (можем объяснить, что это трудотерапия). И мы должны проводить этот опыт очень долго, ведь если мы подбросим монетку, скажем, раз восемь, то, скорее всего, получим всевозможные результаты. Мы можем шесть раз выбросить орла и только два раза – решку; или семь раз – орла, а решку – лишь однажды или наоборот; или выбросить и орла, и решку по четыре раза или в любом другом сочетании. И тем не менее, если подбросить монетку тысячу раз, итоговое соотношение составит примерно 1:1 – орел и решка выпадут примерно по 500 раз. А если в итоге мы получим 600 орлов и 400 решек, то можем заподозрить, что монета была повреждена – и именно из-за этого повреждения шанс того, что она упадет на одну сторону, больше, чем шанс того, что она упадет на другую. В этом случае можно предположить, что вероятность выбросить решку составит примерно 0,6.

Итак, мы стали свидетелями тому, что даже такой простой объект, как монета, может стать причиной немалых проблем. А мы ведь еще даже не начали задавать серьезные вопросы. Например, мы могли бы спросить: почему, если подбросить обычную монету тысячу раз, выпадет приблизительно 500 орлов и 500 решек? У монет нет памяти! Ни один бросок не находится под влиянием предыдущего! Монета, четыре раза подряд упавшая орлом, не может подумать: «Ну все, хватит! Время проявить разнообразие и уравнять счета». Почему мы не можем долго получать орла за орлом – или решку за решкой? Почему числа предпочитают «выравниваться»? (Это пища для размышлений.)

То, почему исходы броска монеты сходятся в предсказуемый паттерн, отчасти объясняет приведенная ниже история. Одного человека (не стану называть его имени) попросили бросить кубик сто раз и сообщить, как все прошло. Он сказал, что каждый раз выбрасывал шестерку. Конечно, мы ему не поверили. Но если бы он, скажем, назвал такие исходы: 1; 5; 3; 4; 2; 3; 5 и так далее – мы вполне могли бы согласиться с тем, что он говорит правду. Может быть, мы бы даже спросили себя: зачем он называет нам это случайное множество чисел? Этот исход такой скучный! И все же шансы получить какой-либо из этих двух особенных исходов идентичны. По сути, вероятность прийти к каждому из них составляет точно 1/6 100, одну шестую в сотой степени, и практически равна нулю. (Возможно, это тоже заставит нас задуматься над тем, почему события с почти нулевой вероятностью все-таки происходят. Это на самом деле вопрос обо всем, ведь если посмотреть отстраненно, то почти всего, что происходит с нами – начиная с нашего рождения на свет, – не должно было случиться, но все же все это произошло.)

Так почему мы не верим в то, что шестерка может выпасть сто раз подряд, а вторую последовательность находим вполне разумной? Сколько очков, по наибольшей вероятности, выпадет на кубике при первом броске – 6 или 1? Совершенно ясно, что никакого различия нет. А что насчет второго броска? Что более вероятно: 6 или 5? И здесь снова нет отличий – вероятность обоих событий одинакова.

В чем же тут дело?

Здесь можно запутаться и угодить в ловушку, но суть в том, что мы говорим о совершенно идеальной последовательности шестерок, которой на самом деле очень трудно достичь, – и о смешанной последовательности, получить которую очень легко. Но определенная смешанная последовательность столь же редка, как и идеальная.

Рассмотрим медицинский пример. Пусть шансы на успешное завершение некоей хирургической операции составляют 0,95. Что это означает? Во-первых, мы должны понять: при обсуждении частоты успешных операций (и схожих проблем) нам следует обеспечить как можно большую выборку. Такая вероятность может что-то означать для хирурга, но пациенту она ясна не до конца. Предположим, у некоего хирурга в предстоящем году назначена тысяча операций и он знает, что 950 из них окончатся успешно, а 50 – нет. Впрочем, пациент вовсе не собирается проводить на себе несколько сотен операций, и такая вероятность успеха интересна ему с иной стороны. Ему предстоит только одна операция, и она либо завершится успехом, либо нет. И тем не менее будет неправильно говорить о том, что его шансы составляют «50 на 50»: они и для него равны 95 %. Но что это значит в точности?

Предположим теперь, что наш хирург – знаменитейший врач, который берет $70 000 за свои услуги. Но у пациента есть выбор: он знает другого врача, у которого доля успешных операций – как и всегда, основанная на его достижениях до настоящего времени, – составляет 90 %. Страховая программа пациента может полностью покрыть вознаграждение второго врача, а значит, для пациента операция будет совершенно бесплатной. Какого хирурга вы бы выбрали? А если бы доля успешных операций у хирурга, работающего по страховой программе, составляла лишь 17 %? Что тогда? Где бы вы провели черту?

Кристиан Барнард (1922–2001), южноафриканский кардиохирург, впервые успешно провел операцию по пересадке человеческого сердца. Луис Вашканский, пациент, которому предстояло стать первым в мире человеком, прошедшим такую операцию, при встрече спросил доктора о том, каковы шансы на успешный исход. «Восемьдесят процентов», – тут же, без колебаний, ответил Барнард. Что он хотел этим сказать? Это была первая операция по пересадке сердца живому пациенту во всей истории человечества! Подобной операции еще не проводили прежде, она была беспрецедентной! В прошлом никто ничего подобного не делал, ее не с чем было сравнить, не было никаких достижений, о которых можно было бы говорить, – так что в таком случае означал уверенный ответ Кристиана Барнарда?