Джеффри Уэст - Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

Естественный отбор использовал фрактальную природу заполняющих пространство сетей для максимизации суммарной эффективной поверхности этих концевых модулей и тем самым максимизации интенсивности метаболизма. С геометрической точки зрения вложенные уровни постоянного ветвления и извилистости, присущие фракталоподобным структурам, оптимизируют передачу информации, энергии и материалов путем максимизации площади поверхности, через которую протекают эти необходимые для жизни элементы. Благодаря своей фрактальной природе эти поверхности гораздо больше, чем их кажущиеся физические размеры. Проиллюстрируем это положение несколькими замечательными примерами, взятыми из нашего собственного тела.

Хотя размер наших легких приблизительно равен размеру футбольного мяча, имеющего объем порядка 5–6 л, суммарная площадь поверхности альвеол, то есть концевых модулей дыхательной системы, в которых происходит обмен углекислого газа и кислорода с кровью, почти равна площади теннисного корта, а суммарная длина всех воздушных каналов составляет около 2500 км, что почти равно расстоянию от Лос-Анджелеса до Чикаго или от Лондона до Москвы. Еще поразительнее тот факт, что длина всех артерий, вен и капилляров человеческого тела, выложенных в одну линию, составила бы около 100 000 км, что почти в 2,5 раза больше окружности Земли и превышает треть расстояния до Луны… И все это умещается в нашем теле высотой от полутора до двух метров. Несмотря на всю свою фантастичность, это лишь одно из удивительных свойств нашего тела, результата использования естественным отбором чудес физики, химии и математики.

Это замечательное явление – предельное проявление того же принципа, который Ричардсон открыл, а Мандельброт сформулировал в приложении к береговым линиям и границам, а именно что длины и площади – не всегда то, чем они кажутся. Как было объяснено в предыдущей главе, достаточно морщинистая линия, заполняющая пространство, может масштабироваться так, как будто она – поверхность. Ее фрактальность, по сути дела, придает ей дополнительное измерение. Ее обычная евклидова размерность, обсуждавшаяся в главе 2, по-прежнему остается равной 1, что говорит о том, что это именно линия, но ее фрактальная размерность равна 2, что свидетельствует о ее максимальной фрактальности и о том, что ее длина масштабируется как площадь. Точно так же и поверхность, если она достаточно измята, может вести себя как объемное тело, там самым приобретая дополнительное измерение. Ее евклидова размерность равна 2, поскольку это поверхность, но ее фрактальная размерность равна 3.

Поясним это положение на знакомом примере. Представим себе стирку простыней. Заботясь об экономии энергии и в то же время стремясь сэкономить собственные деньги и время, мы ждем несколько недель, пока у нас не накопится достаточно грязных простыней, чтобы заполнить весь барабан стиральной машины. Поэтому, когда приходит время стирки, мы набиваем в машину как можно больше простыней – столько, сколько позволяет объем ее барабана. Вспомним теперь, что обычные объемы растут быстрее, чем площади, так что, если бы можно было увеличить все размеры стиральной машины в два раза, сохраняя ее форму неизменной, ее объем возрос бы в восемь (2 3) раз, а площади всех ее поверхностей – в четыре (2 2) раза. Поэтому можно наивно предположить, что раз простыни, по существу, представляют собой поверхности и, следовательно, двумерны (так как их толщина пренебрежимо мала), то в стиральную машину удвоенных размеров поместится в четыре раза больше простыней. Однако если забить все простыни в барабан так, чтобы они заполнили весь его объем, увеличившийся в восемь раз, окажется, что в машину помещается в восемь, а не в четыре раза больше простыней. Другими словами, суммарная эффективная площадь двумерных простыней, заполняющих трехмерную стиральную машину, масштабируется не как площадь, а как объем, так что в этом смысле мы превращаем площадь в объем.

Это происходит потому, что мы берем гладкую евклидову поверхность, простыню, и комкаем ее, создавая большое число складок и морщин, тем самым превращая ее во фрактал. И в самом деле, распределение размеров складок подчиняется классическому степенному закону: существует несколько очень длинных складок и множество очень мелких, и их количество следует степенному распределению. Это обстоятельство было изучено и проверено на опытах со скомканной бумагой [75] M. A. F. Gomes. Fractal Geometry in Crumpled Paper Balls // American Journal of Physics. 1987. 55. P. 649–650. . В реальности невозможно скомкать все простыни в стиральной машине – или листы бумаги – так, чтобы они полностью заполняли объем, но можно довольно близко подойти к этому пределу. В связи с этим измеренные фрактальные размерности таких объектов бывают слегка меньше 2. Собственно, вам и ни к чему полностью скомканные простыни: стиральная машина, скорее всего, не сможет выстирать их как следует, если они будут полностью сжаты.

А вот биологические сети, побуждаемые силами естественного отбора к максимизации поверхностей обмена, достигают максимального заполнения пространства и, следовательно, масштабируются как трехмерные объемные тела, а не двумерные евклидовы поверхности. Это дополнительное измерение, возникающее из оптимизации производительности сети, приводит к тому, что организмы работают так, как если бы они действовали в четырех измерениях. В этом состоит геометрическая причина возникновения показателей, кратных одной четверти. Вместо показателей ⅓, которые действовали бы для гладких, нефрактальных евклидовых объектов, в их масштабировании работают показатели ¼. Хотя живые существа занимают трехмерный объем, их внутренняя физиология и анатомия ведут себя так, как будто они четырехмерны.

Поэтому вовсе не случайно, что ветвление с сохранением площади является чертой многих биологических сетей, хотя в разных анатомических конструкциях могут использоваться разные динамические сценарии. В отличие от генетического кода, развившегося в истории форм жизни всего один раз, фрактальные распределительные сети, создающие дополнительное четвертое измерение, возникали неоднократно. Их примеры можно найти в поверхностях листьев, жабр, легких, кишечника, почек, митохондрий и в разветвленной архитектуре дыхательных и циркуляционных систем самых разных организмов, от деревьев до губок. Таким образом, неудивительно, что даже одноклеточные организмы, например бактерии, используют это свойство и демонстрируют степенное масштабирование.

Вероятно, степенные законы масштабирования с четвертными показателями так же универсальны и так же относятся исключительно к области биологии, как биохимические каналы метаболизма, структура и принципы работы генетического кода или процесс естественного отбора. У подавляющего большинства организмов показатель степенного закона масштабирования уровня метаболизма очень близок к ¾, а внутренних временных параметров и расстояний – к ¼. Это, соответственно, максимальное и минимальное значение эффективной размерности площади поверхности и длины линии в заполняющей пространство фракталоподобной сети. Использование вариаций этой фрактальной темы для создания невероятного многообразия биологических форм и функций свидетельствует о могуществе естественного отбора. Но кроме того, оно свидетельствует о наличии жестких геометрических и физических ограничений процессов метаболизма, вынуждающих все эти организмы подчиняться набору общих степенных законов масштабирования с четвертными показателями. Фрактальная геометрия в буквальном смысле слова придает жизни дополнительное измерение.