Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

Возникновение обеих дисциплин – топологии и теории динамических систем – восходит еще к Анри Пуанкаре, который считал их двумя сторонами одной медали. На рубеже веков он последним из великих математиков применил геометрию для описания законов движения в физической вселенной. Пуанкаре раньше всех осознал проблему хаоса. Его работы содержат смутные указания на возможную непредсказуемость, столь же серьезную, какой она предстает и в исследованиях Лоренца. Однако после смерти французского математика топологию ожидал расцвет, а динамические системы – забвение. Даже само понятие вышло из употребления. Предмет, на который обратил свое внимание Смейл, назывался теорией дифференциальных уравнений. Последние использовались для описания непрерывных изменений системы во времени, причем в соответствии с господствующей традицией объекты рассматривались «локально». Подразумевалось, что инженер или физик примет во внимание лишь один набор параметров, описывающих состояние системы в данный момент времени. Смейл, как и Пуанкаре, стремился исследовать явления в глобальном масштабе, желая постигнуть все разнообразие возможностей сразу.

Любая совокупность уравнений, описывающих динамическую систему (в частности, уравнения Лоренца), позволяет установить определенные начальные параметры. В случае с тепловой конвекцией, например, один из заданных параметров характеризует вязкость жидкости. Значительные изменения исходных данных могут повлечь за собой ощутимые перемены в системе: например, вместо того чтобы стремиться к состоянию равновесия, система может начать совершать периодические колебания. Однако физики предполагали, что слабые изменения способны вызвать незначительное расхождение лишь в числовых данных, но никак не в качественном поведении системы.

Связав топологию и динамические системы, ученые получили бы возможность использовать геометрические образы для наглядного представления всего разнообразия способов поведения систем. С простой системой можно связать какую-то изогнутую поверхность, а со сложной – многообразие со множеством измерений [86] Слова «поверхность» и «многообразие» можно считать синонимами. Сфера и тор (поверхность бублика) – примеры многообразий. Размерность многообразия – это количество чисел, которые нужно задать, чтобы выделить на нем конкретную точку. Например, любая точка на обычной сфере однозначно определяется парой чисел – долготой и широтой, – поэтому говорят, что сфера двумерна (хотя и лежит в трехмерном пространстве); поверхность обычного бублика тоже двумерна. Представить себе многообразия с размерностями больше двух довольно трудно, но для понимания дальнейшего и не нужно. . Точка на поверхности описывает состояние системы в определенный момент времени. С течением времени состояние системы меняется – и точка передвигается по поверхности, описывая на ней некоторую траекторию. Изменяя параметры системы – например, слегка повышая вязкость жидкости или немного увеличивая силу, прикладываемую к маятнику, – мы немного изгибаем эту поверхность или траектории на ней. Приблизительно одинаковые очертания траекторий свидетельствуют о приблизительно одинаковом поведении. Если мы можем наглядно их себе представить, то можем понять, как устроена система.

Когда Смейл обратился к динамическим системам, топологией, как и чистой математикой, занимались люди, относившиеся с пренебрежением к прикладному применению математических знаний. Физика и топология – дисциплины, родственные по происхождению. Однако математики начисто забыли об этом, изучая геометрические образы ради них самих. Смейл, будучи до мозга костей математиком, разделял общее заблуждение, полагая, впрочем, что абстрактные и понятные лишь немногим достижения топологии могут однажды обогатить и физику. Того же мнения придерживался в начале XX века и Пуанкаре.

Так случилось, что первый шаг в новой области Смейл сделал в неверном направлении. Если говорить на языке физики, он предложил закон природы, гласивший примерно следующее: система может вести себя беспорядочно, но подобное поведение не является устойчивым. Устойчивость – «устойчивость по Смейлу», как иногда называли ее математики, – была решающим свойством. Устойчивым именовалось такое поведение системы, которое не могло измениться из-за крохотной флуктуации одного из численных параметров. В любой системе может наблюдаться как устойчивое, так и неустойчивое поведение. Уравнения, которые описывают стоящий вертикально на острие грифеля карандаш, математически легко решаются, если центр тяжести карандаша располагается прямо над точкой опоры. Однако поставить карандаш в такое положение нельзя, поскольку оно неустойчиво: едва заметные колебания выводят систему из равновесия. С другой стороны, шарик, лежащий в лунке, там и останется. Даже если его слегка потревожить, шар вернется в прежнюю позицию. Физики полагали, что любое поведение системы, фактически доступное регулярному наблюдению, должно являться устойчивым, так как небольшие помехи и изменчивость в реальных системах неизбежны, а мы никогда не знаем точных значений параметров. Если вам необходима модель, физически реалистичная и одновременно выдерживающая незначительные изменения, то, по мнению физиков, вам определенно нужна устойчивая модель [87].

Плохие новости пришли в письме от коллеги вскоре после Рождества 1959 года, которое Смейл проводил в доме в Рио-де-Жанейро с женой, двумя малышами и кучей подгузников. В его гипотезе был определен класс структурно устойчивых дифференциальных уравнений. Смейл утверждал, что любая хаотическая система может быть приближена с любой степенью точности какой-то подходящей системой из определенного им класса. Но он ошибался. В письме его коллега сообщал, что многие системы вовсе не так понятны, как представлялось Смейлу [88]. В доказательство автор письма приводил систему, в которой сосуществовали хаос и устойчивость. Эта система была структурно устойчивой! Если вы ее слегка «пошевелите» (а любая естественная система постоянно испытывает случайные «шевеления»), ее странные свойства никуда не денутся. Устойчивая и странная… Смейл с недоверием вчитывался в строки письма, однако через некоторое время убедился в правоте коллеги [89].

Хаос и неустойчивость – понятия, смысл которых еще не отлился в чеканные формулировки, – вовсе не синонимы. Хаотичная система вполне может демонстрировать устойчивость, если ее специфическое иррегулярное поведение продолжает существовать вопреки незначительным помехам. Система Лоренца наглядно показывала это, хотя пройдут годы, прежде чем Смейл услышит о Лоренце. Открытый Лоренцем хаос при всей своей непредсказуемости был столь же устойчивым, как шарик в лунке [90]. Можно добавить в эту систему шум, покачать, хорошенько разболтать ее, помешать движению внутри нее – и все равно, когда возмущение уляжется и мимолетные факторы исчезнут, словно замирающее эхо в глубоком каньоне, система вновь вернется к своему прежнему беспорядочному состоянию. Локально она непредсказуема, глобально – устойчива. Реальные же динамические системы вели себя, повинуясь куда более сложному набору правил, чем можно вообразить. Пример, который приводился в адресованном Смейлу послании, являл собой другую простую систему, открытую более тридцати лет назад, но незаслуженно забытую. Эта система – колебательный электрический контур, по сути своей маятник, нелинейный и подвергаемый, подобно качелям с качающимся на них ребенком, периодическому воздействию силы.