Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

«Физик спросит: как может данный атом, появившись здесь, обосноваться там? Какова чувствительность к воздействию на поверхность? Можно ли написать гамильтониан системы? Если я отвечу, что меня интересует лишь сама форма, ее математика и эволюция, бифуркация, переход к другой форме, возвращение к рассматриваемой, он заявит, будто я занимаюсь не физикой, а математикой. Даже сегодня я слышу такие утверждения. Что я могу сказать на это? Да, конечно, я занимаюсь математикой, но она имеет прямое отношение к тому, что происходит вокруг нас, и это тоже проявление природы» [279].

Обнаруженные Либхабером закономерности действительно были абстрактными, математическими и ничего не проясняли в свойствах жидкого гелия, меди или в поведении атомов при температуре, близкой к абсолютному нулю. Но именно об обнаружении таких закономерностей мечтали мистически настроенные предшественники Либхабера. Эти закономерности узаконили эксперименты, которыми вскоре займутся многие ученые – от химиков до инженеров-электронщиков – в поисках новых элементов движения. Закономерности обнаружились, когда Либхабер, увеличив температуру, сумел выделить первое удвоение периодов, а затем еще одно, и еще. Согласно новой теории, бифуркации должны были воспроизводить геометрию с точным масштабированием, что и обнаружил Либхабер. Универсальные константы Фейгенбаума с этого мгновения превращались из математического идеала в физическую реальность, которую можно было измерить и воспроизвести. Либхабер долго вспоминал потом свои ощущения в тот сверхъестественный миг, когда он наблюдал одну бифуркацию за другой и понял, что перед ним бесконечный каскад изменений с богатейшей структурой. Это было, как он выразился, занятно.

Математик Майкл Барнсли встретил Митчелла Фейгенбаума на конференции на Корсике в 1979 году [280]. Барнсли, недавний выпускник Оксфорда, только-только познакомился с понятием универсальности, удвоением периодов и бесконечным каскадом бифуркаций. «Отличная идея, – подумал он. – И конечно, все набросятся на нее, чтобы отхватить кусочек». Себе Барнсли тоже присмотрел кусочек, не замеченный еще ни одним из конкурентов.

Откуда происходили эти циклы: 2, 4, 8, 16, – эти последовательности Фейгенбаума? Появлялись ли они, будто по мановению волшебной палочки, из математической пустоты или содержали в себе намек на нечто более глубокое? Барнсли интуитивно чувствовал, что они часть какого-то невероятного фрактального объекта, ускользавшего до сих пор из поля зрения ученых.

Для проверки идеи уже имелся математический аппарат – комплексная плоскость. На этой плоскости числа от минус бесконечности до плюс бесконечности, то есть все действительные числа, лежат вдоль линии, которая тянется с запада на восток, а ноль располагается в середине. Но данная линия – лишь экватор мира, простирающегося до бесконечности на север и на юг. Каждое число состоит из двух частей: действительной, соответствующей долготе, и мнимой, соответствующей широте. Эти комплексные числа условно записываются следующим образом: 2 + 3i , где ί обозначает мнимую часть. Обе части сообщают каждому числу уникальное местоположение на двумерной плоскости. Первоначальная линия действительных чисел, таким образом, является лишь частным случаем – совокупностью чисел, мнимая часть которых равна нулю. Находясь в комплексной плоскости, рассматривать только действительные числа (точки экватора) – значит ограничивать свое поле зрения случайными пересечениями форм, которые могут открыть нечто новое, если посмотреть на них в двух измерениях. Так полагал Барнсли.

Понятия «действительный» и «мнимый» в отношении чисел возникли в те времена, когда обычные числа казались более «настоящими», чем новый «гибрид». Сейчас любой ученый сознает, что названия эти произвольны: и действительные, и мнимые числа являются «настоящими» или «воображаемыми» в той же степени, что и любые другие числа [281]. Прежде мнимые числа использовались для заполнения умозрительного вакуума, порождаемого вопросом: чему равен квадратный корень из отрицательного числа? Люди договорились обозначать квадратный корень из −1 через i , квадратный корень из −4 – через 2 i и так далее. После этого оставалось совсем немного, чтобы понять, что сочетание действительных и мнимых чисел позволяет производить новые типы вычислений с полиномиальными уравнениями. Комплексные числа можно складывать, умножать, делить, усреднять, раскладывать на множители, интегрировать [282]. Словом, почти каждое вычисление с действительными числами удается проделать и с комплексными. Итак, Барнсли начал переводить функции Фейгенбаума в комплексную плоскость, и тут он заметил очертания удивительного семейства форм. Они относились, по-видимому, к тем динамическим идеям, которые интересовали физиков-экспериментаторов, и одновременно были поразительными математическими конструкциями.

В конце концов Барнсли понял, что циклы в последовательностях Фейгенбаума возникают не на пустом месте. Они попадают на вещественную прямую с комплексной плоскости, где, если приглядеться, существует целое «созвездие» циклов всех порядков. Там всегда присутствуют циклы с периодами два, три, четыре, ускользавшие из виду до тех пор, пока они не достигнут вещественной прямой. Вернувшись с Корсики в Технологический институт Джорджии, Барнсли написал статью и отправил ее в журнал Communications in Mathematical Physics в надежде на публикацию. Редактор, коим оказался Давид Рюэль, огорчил его: Барнсли, сам того не зная, повторил открытие пятидесятилетней давности, которое сделал один французский математик. «Рюэль отфутболил мою работу, сопроводив ее припиской: „Майкл, здесь речь идет о множествах Жюлиа“», – вспоминал позже Барнсли [283].

Рюэль также посоветовал математику связаться с Мандельбротом.

Джон Хаббард, американский математик, обожавший модные смелые рубашки, уже три года преподавал начала математического анализа первокурсникам в университете Орсе во Франции [284]. Среди прочих привычных тем в учебный план входило рассмотрение метода Ньютона – классической схемы решения уравнений путем последовательных приближений. Хаббарда, впрочем, привычные темы немного утомляли, и однажды он решил, что преподнесет вопрос в такой форме, которая заставит студентов поразмыслить.