Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

Метод Ньютона известен давно. Он не отличался новизной даже тогда, когда был «изобретен» самим Ньютоном. Древние греки применяли один из вариантов этого метода для извлечения квадратных корней. Решение начинается с догадки, которая приводит к более точной догадке, – и процесс последовательных итераций устремляется к ответу, подобно тому как динамическая система стремится обрести устойчивое состояние. Процесс идет достаточно быстро, и количество верных цифр после запятой, как правило, удваивается с каждым шагом. Конечно, сейчас квадратные корни вычисляют более аналитическими методами, как и все корни квадратных уравнений – тех, в которых неизвестное χ возводится в степень не выше второй. Но метод Ньютона является действенным и для полиномиальных уравнений более высоких степеней, которые не могут быть решены аналитически. Он прекрасно подходит для множества компьютерных алгоритмов – ведь итерационные процедуры, как никакие другие, могут быть успешно выполнены на вычислительной машине. Одним маленьким недостатком этого метода можно считать лишь то, что уравнения обычно имеют более одного корня, особенно если искать их также среди комплексных чисел. Какое именно решение будет найдено с помощью метода итераций, зависит от первоначальной догадки. На практике студенты не испытывают по этому поводу больших затруднений. Обычно у вас есть какое-то представление, с чего начать, а если выбранная стартовая точка приводит к неверному решению, то вы просто начинаете с какой-нибудь другой точки.

Возникает вопрос: каким именно путем метод Ньютона приводит к корням квадратного уравнения на комплексной плоскости? Рассуждая геометрически, на этот вопрос можно ответить так: метод позволяет отыскать тот из двух корней, который ближе к первоначальной догадке. Именно это Хаббард и объяснил своим студентам, когда однажды ему задали такой вопрос. «Уравнения, скажем, третьей степени решаются сложнее, – заметил он. – Я подумаю над этим и расскажу вам через неделю» [285].

Он по-прежнему полагал, что наибольшую трудность для студентов будет представлять итерационный процесс, но никак не выбор начальной догадки [286]. Однако чем больше Хаббард размышлял на эту тему, тем менее определенным казалось то, что же следует считать разумной догадкой или к чему на самом деле приводит метод Ньютона. Очевидным геометрическим решением было бы разделение плоскости на три равных сектора, похожих на куски пирога, в каждом из которых находилось бы по одному корню. Однако, как выяснил Хаббард, идея не срабатывала: около границ секторов происходили весьма странные вещи. Кроме того, выяснилось, что он далеко не первый математик, споткнувшийся на этом неожиданно сложном вопросе. Так, в 1879 году Артур Кейли уже пытался перейти от вполне понятных уравнений второй степени к пугающе сложным уравнениям третьей степени. Но столетие спустя Хаббард имел в своем распоряжении то, чего недоставало Кейли.

Хаббард относился к числу тех математиков, которые, уважая точность, презирали всяческие догадки, аппроксимации и полуправду, основанную скорее на интуиции, нежели на доказательстве. Даже спустя двадцать лет после появления в литературе упоминания об аттракторе Лоренца он продолжал настаивать на том, что фактически никто не знает, есть ли в соответствующей системе странный аттрактор, или нет. Это представлялось ему лишь недоказанным предположением, а знакомая двойная спираль, по его утверждению, была не доказательством, а не более чем свидетельством, нарисованным компьютером.

Но сейчас, вопреки себе, Хаббард все-таки обратился к компьютеру, чтобы выполнить то, что общепринятые методы обошли стороной. Компьютер не доказал бы ничего, но, по крайней мере, мог бы кое-что прояснить, чтобы математик понял, что именно ему предстоит доказать. Итак, Хаббард начал экспериментировать, рассматривая метод Ньютона не как средство решения задач, а как саму задачу. Он взял в качестве примера простейшее кубическое уравнение х 3 −1 = 0, при решении которого требуется найти кубический корень из единицы. В случае с действительными числами решение вполне тривиально – единица. Однако данный многочлен имеет также два комплексных корня: −½ + i √ 3/ 2 и −½ −i √ 3/ 2 . Нанесенные на комплексную плоскость, эти три корня образуют равносторонний треугольник, одна вершина которого находится на трех часах, другая – на семи и третья – на одиннадцати. Вопрос заключается в том, чтобы выбрать в качестве начальной точки произвольное комплексное число и увидеть, какое именно из этих трех решений даст вычисление по методу Ньютона. Это все равно что рассматривать данный метод как динамическую систему, а три решения – как три аттрактора. Или представить комплексную плоскость в виде гладкой поверхности, спускающейся к трем углублениям. Мраморный шарик, начав скатываться с любой точки на плоскости, приведет в одну из долин. Но в какую?

Хаббард приступил к рассмотрению бесконечного числа точек, составляющих плоскость. Его компьютер переходил от точки к точке, применял метод Ньютона к каждой из них и раскрашивал ее в зависимости от результата. Те начальные точки, которые вели к первому решению, были отмечены синим, точки, генерировавшие второе решение, – красным, а те, что давали третий результат, – зеленым. Математик заметил, что в самом грубом приближении динамика метода Ньютона действительно делила плоскость на три сектора. Как правило, точки, близкие к определенному решению, быстро вели прямо к нему. Тем не менее систематическое компьютерное исследование выявило сложную скрытую организацию, недоступную математикам прошлого, которым под силу было лишь изучить несколько точек тут и там. В то время как некоторые начальные точки быстро приводили к одному из корней, другие словно «прыгали» рядом с ним совершенно произвольно, пока не приближались наконец к решению. Иногда казалось, что точка может стать началом периодического цикла, который будет повторяться бесконечно, не достигая ни одного из трех возможных корней.

Когда Хаббард запустил компьютер, намереваясь более детально исследовать пространство, начала вырисовываться картина, которая сбила с толку и преподавателя, и его студентов. Например, вместо аккуратного «гребня» между синей и красной долинами математик увидел пятна зеленого цвета, соединенные словно бусины ожерелья. Это выглядело так, будто шарик, попавший в ловушку на стыке двух соседних долин, остановился в третьей, самой отдаленной. Граница между двумя цветами никогда не формировалась полностью, и при увеличении линия между зеленым пятном и синей областью включала в себя вкрапления красного цвета [287]. И так повторялось снова и снова. Линия границы в конце концов открыла Хаббарду особое свойство, которое показалось бы весьма странным даже человеку, знакомому с жуткими фракталами Мандельброта: ни одна из точек не разделяет только два цвета. Где бы два цвета ни старались соединиться, там всегда появляется третий, порождая целые ряды самоподобных проникновений. Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех цветов.