Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

А теперь предположим, что мы строим график, отображающий зависимость результата от начального положения рукоятки поршня. График представляет собой линию. Положение рукоятки, при котором шарик попадает в правую лунку, обозначим красной точкой, в левую – зеленой. Что мы можем выяснить об этих аттракторах как о функции начальной позиции?

Граница оказывается фрактальной системой, необязательно самоподобной, но с бесчисленным количеством деталей. Некоторые участки линии будут сплошь красными или сплошь зелеными. Другие при увеличении обнаружат новые вкрапления красного внутри зеленого и наоборот. При каких-то положениях рукоятки небольшие сдвиги не имеют значения, однако есть и такие, при которых даже произвольно малое изменение будет иметь значение для распределения красного и зеленого цветов.

Добавление второго измерения означает ввод второго параметра, второй степени свободы. Например, в случае с автоматом для игры в пинбол можно принять во внимание эффект от изменения угла наклона игрового поля. Здесь обнаружится особого рода сложность – сущее наказание для инженеров, которые отвечают за проверку устойчивости реальных систем, обладающих более чем одним параметром, в частности энергетических сетей и ядерных станций, в 1980-х годах ставших объектами исследований вдохновленных хаосом ученых. При одном значении параметра А параметр В может порождать обнадеживающее упорядоченное поведение с последовательными участками стабильности. Инженеры могут проводить исследования и составлять графики именно того типа, какой предполагает их подготовка, ориентированная на линеаризацию. И все же не исключено, что где-то поблизости прячется другое значение параметра А, существенно влияющее на важность параметра В.

Йорк демонстрировал на конференциях изображения границ фрактальных бассейнов. Некоторые из них описывали поведение маятников, на которые действует дополнительная сила. Такие маятники могли стремиться к одному из двух конечных состояний и, как хорошо знали слушатели, часто встречались в реальной жизни в разных обличьях. «Никто не может утверждать, что я обманул систему, выбрав маятник, – с улыбкой говорил Йорк. – Подобные вещи мы наблюдаем в природе повсюду, однако их поведение в корне отличается от всего, что описано в литературе. Это фрактальное поведение беспорядочного типа» [304]. Картины походили на фантастические водовороты белого и черного цветов, как будто кухонный миксер оставил несколько брызг в процессе смешивания ванили и шоколада для пудинга. Для создания подобных изображений компьютер просчитал решетку размером тысяча на тысячу точек, каждая из которых представляла разное начальное положение маятника, и графически отобразил результат, обозначив точки белым или черным. На картине проявились бассейны притяжения, смешанные и сложенные в соответствии со знакомыми уравнениями движения Ньютона, и в результате граница занимала большую часть изображения – как правило, более трех четвертей всех показанных на экране точек принадлежали именно границе [305].

Фрактальные границы бассейнов. Даже когда долгосрочное поведение динамической системы не является хаотическим, хаос может появиться на границе двух типов устойчивого поведения. Зачастую динамическая система характеризуется более чем одним состоянием равновесия, как, например, маятник, который может остановиться, притянувшись к одному из двух магнитов, встроенных в его основание. Каждое состояние равновесия является аттрактором. Граница между двумя аттракторами может быть сложной, но гладкой ( слева )или же сложной, но негладкой. В высшей степени фрактальная россыпь белых и черных фрагментов ( справа )есть диаграмма в фазовом пространстве маятника. Система, несомненно, достигнет одного из двух возможных устойчивых состояний. Для некоторых начальных условий результат вполне предсказуем. Черное есть черное, а белое есть белое. Но вблизи границы прогнозировать что-либо уже невозможно.

Исследователям и инженерам эти изображения преподали хороший урок, послужив одновременно и предостережением – слишком уж часто поведение сложных систем прогнозируют исходя из ограниченных данных. Наблюдая за системой, которая функционировала нормально, оставаясь в узких рамках нескольких параметров, инженеры надеялись экстраполировать результат более или менее линейным образом на необычное поведение. Но исследования границ фрактальных бассейнов продемонстрировали, что рубеж между состояниями покоя и возмущения куда сложнее, чем кто-либо мог представить [306]. «Вся энергетическая сеть восточного побережья является колебательной системой, большую часть времени устойчивой. Нас интересует, что произойдет, если потревожить ее, – объяснял Йорк. – Необходимо знать, что представляет собой граница. Большинство даже не имеет понятия, как она выглядит».

Фрактальные границы бассейнов оказались связаны с важнейшими дискуссионными вопросами теоретической физики. Например, с фазовыми переходами, которые происходили при достижении определенного порога. Пайтген с Рихтером рассмотрели одну из их наиболее изученных разновидностей – намагничивание и размагничивание материалов. Полученные ими картины границ обнаруживали удивительнейшую сложность, начинавшую казаться вполне естественной. Изображение напоминало головки цветной капусты с причудливым рисунком выпуклостей и борозд. По мере изменения параметров и увеличения деталей очертания становились все более и более неупорядоченными, пока вдруг неожиданно в глубине зоны возмущения не появилась знакомая, сплющенная у полюсов, форма, усеянная ростками: множество Мандельброта, где каждый завиток и каждый атом располагались на своем месте. «Возможно, стоит поверить в магию», – писали ученые, осознав, что перед ними предстало очередное доказательство универсальности [307].

Майкл Барнсли пошел по другому пути: мысли его обратились к формам, созданным самой природой. Особенно его занимали образы, имевшие отношение к живым организмам. Он экспериментировал с множествами Жюлиа, а также с другими процессами, постоянно отыскивая способы генерации еще большей изменчивости. В итоге он использовал случайность как основу для создания неизвестных ранее методов моделирования естественных форм. Рассуждая в своих статьях о новой технике, ученый называл ее «глобальным построением фракталов посредством систем итерированных функций», но в разговоре описывал свою находку как «игру хаоса» [308].