Чарльз Петцольд - Код. Тайный язык информатики

Единственная причина, по которой возникает такая ассоциация, в том, что уток столько же, сколько и пальцев у нас на руках. Если бы у человека было иное количество пальцев, то и считали бы мы по-другому, и число 10 означало бы нечто иное. Например, число 10 может указывать и на такое количество уток.

Или так.

Или даже так.

Как только мы поймем, в каком случае 10 означает двух уток, можно будет приступать к разговору о представлении чисел при работе с переключателями, проводами, лампочками и реле (далее — и с компьютерами).

Что, если бы у людей было всего по четыре пальца на руке, как у мультяшек? Вероятно, нам бы даже не пришло в голову разрабатывать десятеричную систему счисления. Напротив, мы бы считали нормальным, естественным, разумным, неизбежным, неопровержимым и бесспорно верным построить систему счисления с основанием 8. Она называлась бы не десятеричной , а восьмеричной , или системой с основанием 8 .

Если бы наша система счисления была построена на основании 8, то вот этот символ нам бы не требовался:

9.

Покажите этот символ мультяшке, и герой спросит: «Что это? Зачем это нужно?» Если задуматься, то и без этого символа можно обойтись:

8.

В десятеричной системе счисления нет специального символа для десятки, соответственно в восьмеричной системе счисления его нет для восьмерки.

В десятеричной системе счисления мы считаем: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а потом 10. В восьмеричной системе считаем: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а потом что? Цифры кончились. Остается лишь 10, и это правильный ответ. В восьмеричной системе за 7 следует 10. Но в таком случае 10 соответствует не десяти пальцам, которые есть на двух руках у человека. В восьмеричной системе 10 — это количество пальцев у мультяшек.

Давайте считать дальше на четырехпалых ступнях.

Имея дело с иными системами счисления, кроме десятеричной, можно не путаться, если называть число 10 « один-ноль» . Аналогично 13 будет « один-три» , а 20 — « два-ноль» . Чтобы вообще обойтись без путаницы, можно говорить « два-ноль с основанием восемь» или « два-ноль восьмеричных» .

Даже когда у нас кончатся пальцы на руках и ногах, можно и далее считать в восьмеричной системе. В принципе, процесс не отличается от счета в десятеричной, просто мы пропускаем все числа, в которых есть 8 или 9. Естественно, конкретные числа обозначают уже другие величины.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 100…

Последнее число называется « один-ноль-ноль» . Это общее количество пальцев мультяшки, умноженное само на себя.

При записи десятеричных и восьмеричных чисел можно избежать путаницы, записывая все числа с нижними индексами, обозначающими принадлежность к той или иной системе счисления. Нижний индекс ДЕСЯТЬ означает «основание десять», то есть десятеричную систему, а нижний индекс ВОСЕМЬ — «основание восемь», или восьмеричную систему.

Итак, Белоснежка повстречала 7ДЕСЯТЬ, или 7ВОСЕМЬ, гномов.

У мультяшек по 8ДЕСЯТЬ, или 10ВОСЕМЬ, пальцев на руке.

Бетховен написал 9ДЕСЯТЬ, или 11ВОСЕМЬ, симфоний.

У человека 10ДЕСЯТЬ, или 12ВОСЕМЬ, пальцев на руках.

В году 12ДЕСЯТЬ, или 14ВОСЕМЬ, месяцев.

В двух неделях 14ДЕСЯТЬ, или 16ВОСЕМЬ, дней.

Паспорт выдают в 16ДЕСЯТЬ, или 20ВОСЕМЬ, лет.

В сутках 24ДЕСЯТЬ, или 30ВОСЕМЬ, часов.

В латинице 26ДЕСЯТЬ, или 32ВОСЕМЬ, букв.

В английской кварте 907ДЕСЯТЬ, или 1134, граммов.

В покерной колоде 52ДЕСЯТЬ, или 64ВОСЕМЬ, карт.

Самый известный адрес по Сансет-Стрип — 77ДЕСЯТЬ, или 115ВОСЕМЬ.

Длина поля для американского футбола — 91ДЕСЯТЬ, или 131ВОСЕМЬ, метров.

На старте женского одиночного зачета в Уимблдонском турнире — 128ДЕСЯТЬ, или 200ВОСЕМЬ, участниц.

Площадь Мемфиса равна 640ДЕСЯТЬ, или 1000ВОСЕМЬ, квадратных километров.

Обратите внимание: в этом списке есть несколько круглых восьмеричных чисел. Круглым называется число, оканчивающееся на один или несколько нулей. Если десятеричное число оканчивается двумя нулями, значит, оно кратно 100ДЕСЯТЬ, а 100ДЕСЯТЬ — это 10ДЕСЯТЬ, умноженное на 10ДЕСЯТЬ. В восьмеричной системе два нуля в конце числа означают, что число кратно 100ВОСЕМЬ, то есть 10ВОСЕМЬ умножить на 10ВОСЕМЬ (или 8ДЕСЯТЬ умножить на 8ДЕСЯТЬ, что равно 64ДЕСЯТЬ).

Возможно, вы также заметили, что такие круглые восьмеричные числа, как 100ВОСЕМЬ, 200ВОСЕМЬ и 400ВОСЕМЬ, в десятеричной системе соответствуют 64ДЕСЯТЬ, 128ДЕСЯТЬ и 256ДЕСЯТЬ, и все эти десятеричные числа — степени двойки. Это логично. Например, число 400ВОСЕМЬ, равно 4ВОСЕМЬ умножить на 10ВОСЕМЬ и умножить на 10ВОСЕМЬ, и все это — степени двойки. Всякий раз при умножении степени двойки на степень двойки мы получаем еще одну степень двойки.

В следующей таблице даны некоторые степени двойки в десятеричном и восьмеричном представлении.

Степень двойки

Десятеричная система

Восьмеричная система

20

1

1

21

2

2

22

4

4

23

8

10

24

16

20

25

32

40

26

64

100

27

128

200

28

256

400

29

512

1000

210

1024

2000

211

2048

4000

212

4096

10 000

Круглые числа из правого столбца подсказывают, что системы счисления, отличающиеся от десятеричной, удобны для работы с двоичными кодами.

Структурно восьмеричная система аналогична десятеричной. Отличия лишь в деталях. Например, каждая позиция в восьмеричном числе — это цифра, умноженная на степень восьмерки.

Следовательно, восьмеричное число 3725ВОСЕМЬ можно разбить:

3725ВОСЕМЬ = 3000ВОСЕМЬ + 700ВОСЕМЬ + 20ВОСЕМЬ + 5ВОСЕМЬ.

Эту последовательность можно переписать несколько иначе. Например, при помощи степеней восьмерки в их десятеричном представлении:

3725ВОСЕМЬ = 3 × 512ДЕСЯТЬ +

7 × 64ДЕСЯТЬ +

2 × 8ДЕСЯТЬ +

5 × 1.

То же самое, записанное при помощи степеней восьмерки в восьмеричном представлении: