Чарльз Петцольд - Код. Тайный язык информатики

Помните, что каждая целая часть будет равна либо 0, либо 1. Если делимое меньше делителя, то целая часть от деления будет равна 0, а остаток — самому делимому. Если делимое больше или равно делителю, то целая часть от деления будет равна 1, а остаток — разности между делимым и делителем. Вот как преобразуется число 150.

Если вам нужно сложить или перемножить два двоичных числа, вероятно, будет легче выполнить вычисления в двоичной системе, не преобразуя числа в десятичные. Это должно понравиться. Представьте, как быстро вы могли бы освоить сложение, если бы потребовалось запомнить только это.

Давайте с помощью этой таблицы сложим два двоичных числа.

Начиная с правого столбца: 1 плюс 0 равно 1. Второй столбец справа: 0 плюс 1 равно 1. Третий столбец: 1 плюс 1 равно 0, 1 в уме. Четвертый столбец: 1 (перенесенное значение) плюс 0 плюс 0 равно 1. Пятый столбец: 0 плюс 1 равно 1. Шестой столбец: 1 плюс 1 равно 0, 1 в уме. Седьмой столбец: 1 (перенесенное значение) плюс 1 плюс 0 = 10.

Таблица умножения даже проще, чем таблица сложения, поскольку ее можно составить, используя два базовых правила умножения: умножая на 0, получаем 0, умножение на 1 не влияет на исходное число.

Вот процесс умножения числа 13ДЕСЯТЬ на число 11ДЕСЯТЬ в двоичной системе счисления.

Результат — 143ДЕСЯТЬ.

Люди, работающие с двоичными числами, часто предваряют их нулями, то есть пишут нули слева от первой 1, например 0011 вместо 11. Это совершенно не влияет на значение, а служит исключительно для красоты. В следующей таблице перечислены первые шестнадцать двоичных чисел и их десятичные эквиваленты.

Двоичное число

Десятичное число

0000

0

0001

1

0010

2

0011

3

0100

4

0101

5

0110

6

0111

7

1000

8

1001

9

1010

10

1011

11

1100

12

1101

13

1110

14

1111

15

Давайте рассмотрим список двоичных чисел. Обратите внимание на каждый из четырех вертикальных столбцов, состоящих из нулей и единиц, и заметьте, как эти цифры чередуются в столбцах сверху вниз:

в крайнем правом столбце — 0 и 1;

во втором столбце справа — два 0 и две 1;

в следующем столбце — четыре 0 и четыре 1;

в крайнем левом столбце — восемь 0 и восемь 1.

В этом есть порядок, не так ли? Действительно, вы можете легко написать следующие шестнадцать двоичных чисел, просто повторив первые шестнадцать и добавив 1 в начале.

Двоичное число

Десятичное число

10000

16

10001

17

10010

18

10011

19

10100

20

10101

21

10110

22

10111

23

11000

24

11001

25

11010

26

11011

27

11100

28

11101

29

11110

30

11111

31

Вот еще один способ смотреть на это: при выполнении подсчета в двоичном формате крайняя цифра справа (также называемая младшим разрядом) поочередно принимает значения 0 и 1. Каждый раз, когда она изменяется с 1 на 0, вторая цифра справа, следующая за младшим разрядом, также изменяется либо с 0 на 1, либо с 1 на 0. Так что каждый раз, когда двоичная цифра изменяется с 1 на 0, следующая за ней цифра также меняется либо с 0 на 1, либо с 1 на 0.

При записи больших десятичных чисел мы используем запятые через каждые три знака для облегчения их восприятия [11]. Например, если вы увидите число 12000000, вероятно, придется подсчитать количество цифр, однако, увидев число 12,000,000, вы сразу поймете, что оно означает 12 миллионов.

Двоичные числа очень быстро могут стать весьма длинными. Например, 12 миллионов в двоичной системе счисления записывается так: 101101110001101100000000. Чтобы такое число было легче воспринимать, каждые четыре двоичных разряда обычно разделяются пробелами (1011 0111 0001 1011 0000 0000). Далее в этой книге мы рассмотрим более сжатый способ записи двоичных чисел.

Сведя систему счисления к двоичным цифрам 0 и 1, мы достигли предела. Далее упрощать некуда. Более того, двоичная система соединяет арифметику с электричеством. В предыдущих главах мы рассматривали переключатели, провода, лампочки и реле, и любой из этих объектов может отображать двоичные цифры 0 и 1.

Провод может представлять собой двоичную цифру . Если по нему идет ток, то двоичная цифра равна 1, если нет — 0.

Переключатель может представлять собой двоичную цифру . Если переключатель включен, или замкнут, то двоичная цифра равна 1, если переключатель выключен, или разомкнут, то двоичная цифра — 0.

Лампочка может представлять собой двоичную цифру . Если лампочка горит, то двоичная цифра равна 1, если нет — 0.

Телеграфное реле может представлять собой двоичную цифру . Если реле замкнуто, то двоичная цифра равна 1, если разомкнуто — 0.

Двоичные цифры имеют непосредственное отношение к компьютерам.

Примерно в 1948 году американский математик Джон Тьюки (род. 1915) [12] осознал, что в будущем словосочетание «двоичная цифра» (binary digit), вероятно, приобретет гораздо большее значение — по мере распространения компьютеров. Он решил создать новое, более короткое слово, чтобы заменить эти громоздкие пять слогов, и рассматривал такие варианты, как bigit и binit, но остановился на коротком, простом, элегантном и просто замечательном слове bit («бит»).

Когда в 1973 году Тони Орландо в своей песне попросил, чтобы любимая «повязала желтую ленточку вокруг старого дуба», он не сопроводил свою просьбу ни подробными объяснениями, ни долгими рассуждениями. Никаких «если», «и», «но». Несмотря на сложные чувства и эмоции, сопровождавшие ситуацию, что разворачивалась в реальной жизни и легла в основу песни, мужчине хотелось получить простой ответ: «да» или «нет». Он знал, что, если на старом дубе появится желтая ленточка, это будет означать: «Да, хотя ты и наворотил дел и провел три года в тюрьме, я все равно хочу, чтобы ты вернулся и мы жили под одной крышей». А отсутствие желтой ленточки скажет: «Даже не думай здесь останавливаться».

Здесь есть две четкие взаимоисключающие альтернативы. Тони Орландо не пел: «Повяжи половину желтой ленточки, если тебе нужно время на размышление» или «Повяжи голубую ленточку, если больше не любишь меня, но по-прежнему хочешь остаться друзьями». Нет, он все сформулировал очень просто.

Не менее информативно, нежели отсутствие или наличие желтой ленточки (разве что не столь поэтично), сработал бы дорожный знак, поставленный во дворе, например «Путь открыт» или «Въезд запрещен». Или табличка на двери «Закрыто» или «Открыто». Или фонарик на окне — включенный или выключенный.