Искусственный интеллект

В нашей повседневной жизни мы широко используем математические вычисления. Мы считаем вещи и предметы, подсчитываем прибыль или убытки, вероятность получения дохода при покупке или продажи акций, сравниваем рыночные цены товаров, составляем бухгалтерские балансы, сметы расходов и т.д. Пересчитывая какое-то множество предметов, мы, однако, далеки от мысли, что число является внутренне присущим им признаком. Таким образом, в нашем обыденном познании мы ограничиваемся лишь инструментальной функцией математических формализмов и не делаем далеко идущих выводов о внутренней «присущности» реальным физическим объектам (вещам) свойств идеальных концептуальных объектов и формальных структур математики.

Однако в развитом научном познании исследователи-теоретики имеют дело не с непосредственно, перцептивно воспринимаемыми физическими объектами, а с идеальными концептуальными системами (гипотезами, научными теориями, теоретическими моделями и т.д.), адекватность которых структурам физического мира может быть проверена только косвенным образом с помощью экспериментов. Поскольку и идеальные концептуальные системы научных знаний и математические (и логические) формализмы - это «однопорядковые» структуры нашего знаково-символического (логико-вербального) мышления, то в высокоабстрактных областях теоретического естествознания (например, в физике) математические теории (или их фрагменты) могут выступать не только как средство вычислений, но и как исключительно мощный когнитивный инструмент порождения новых научных понятий и идеальных концептуальных систем конкретных научных дисциплин (или даже нескольких областей одной дисциплины) 107 107 Применение математических формализмов в качестве «порождающей грамматики» концептуальной системы конкретной дисциплины предполагает приписывание специально-научной интерпретации (смысла) математическим понятиям и формулам. Так, например, выражение dx/dt обладает сугубо математическим смыслом и может быть интерпретировано как полная производная некоторой функции х. В классической механике этому же выражению может быть приписано физическая интерпретация (смысл) - мгновенная скорость изменения положения в пространстве (обозначаемой х) материальной точки. Аналогичным образом с помощью математических формализмов и их преобразований определяются и другие понятия классической механики, например, ускорение, импульс силы, количество движения тела, мощность и т.д. в механике формулируются с помощью Дифференциальные или операторные уравнения, на языке которых формулируются законы движения в механике, также порождают новые понятия. Так, например, стало возможным специфицировать понятие волны (как процесс распространения колебаний в среде) с помощью математической функцией, удовлетворяющей некоторому дифференциальному уравнению (волновому). . Приписывая математическим понятиям физические интерпретации (смыслы), мы получаем возможность как бы «оседлать» формализм и путем его преобразования выявлять с его помощью ранее неизвестную концептуальную информацию. Формальная достоверность математических преобразований (выводов) лежит в основе нашей когнитивной уверенности в том, что полученные в результате таких преобразований математические понятия (формулы) также должны иметь какие-то физические смыслы. Благодаря способности генерировать новые научные понятия и концептуальные системы математические формализмы оказываются важнейшим структурным элементом дедуктивной системы абстрактных научных теорий, они позволяют выводить следствия из их исходных и дополнительных гипотез, а также вычислять экспериментально проверяемые параметры (величины) 108 108 По словам Л. де Бройля, «теория также должна иметь свои инструменты, для того чтобы получить возможность формулировать свои концепции в строгой форме и строго вывести из предположения, которые можно было бы точно сравнить с результатами эксперимента; но эти инструменты являются, главным образом, инструментами интеллектуального порядка, математическими инструментами, если можно так сказать, которые теория постепенно получила благодаря развитию арифметики, геометрии, анализа и которые не перестают множиться и совершенствоваться». (Бройль Л. де. По тропам науки. М., 1962, С. 163.) . Более того, в силу универсальности математических формализмов как идеальных структур знаково-символического мышления они могут порождать не только понятийные каркасы отдельных научных теорий, но и концептуальные системы целого класса теорий, выступая по отношению к этим теориям в качестве базовых математических моделей. Примером могут служить уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Лапласа, составляющие основу математического аппарата классической физики 109 109 См. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Синергетика - новые возможности. М, 1989. С. 4. . И, наконец, функцию своего рода «синтаксиса», порождающей грамматики математические формализмы выполняют и по отношению к изолированным научным гипотезам и конкретным теоретическим моделям, а также в прикладных и технических дисциплинах, где широко применяются приближенные методы вычислений.

История физики дает множество примеров, свидетельствующих о том, что формированию каждой её новой области, возникновению каждой новой физической теории предшествовала разработка соответствующих разделов математики. Без изобретения математического анализа, интегрального и дифференциального исчислений было бы невозможно создание классической механики, без теории вероятности - молекулярно-кинетической теории и вообще классической статистической физики, без векторного анализа - классической электродинамики Максвелла, без тензорного анализа - теории относительности, без теории гильбертовых пространств, матричной алгебры, теории линейных дифференциальных уравнений - квантовой механики, без теории групп и обобщенных функций - теория элементарных частиц и т.д. Причем создание новых математических теорий, как правило, обусловливалось проблемами, совершенно независимыми от положения дел в физике.

В формальных аксиоматических теориях математики значения исходных терминов с самого начала не определяются, и они остаются неопределенными при выводе теорем из аксиом. Мы, поэтому, можем произвольно выбирать значения этих исходных терминов при одном только условии, что аксиомы останутся истинными. Но почему мы выбираем именно эти аксиомы, а не другие? Выбор диктуется прежде всего тем, приложима ли данная система к любым идеальным объектам, заданным извне в качестве интерпретации исходных терминов. Во многих случаях в качестве интерпретации какой-либо системы аксиом берется система концептуальных объектов из какой-нибудь другой аксиоматической теории. Тогда вопрос сводится к значению этой другой аксиоматической теории. Но когда мы утверждаем, что какое-то конкретное предложение данной формальной аксиоматической теории является теоремой, и что оно истинно, то это означает лишь, что это предложение вытекает из аксиом. Однако вопрос о том, что этому предложению соответствует в действительности и соответствует ли вообще, остается открытым, поскольку в формальной аксиоматике формальные выводы проводятся до какого бы то ни было приписывания значений исходным терминам. Неопределенность исходных терминов и нефиксированность операций составляют теоретическую основу универсальности математики и её языка, многообразия приложений математических формализмов как идеальных знаково-символических структур, обеспечивающих развертывание потенциальной концептуальной информации в понятийных системах самых различных дисциплин. Убедительным примером здесь может служить современная алгебра, в частности, абстрактная теория групп, система аксиом которой допускает существенно различные интерпретации - она обеспечивает извлечение новой когнитивной информации из самых разнообразных концептуальных объектов, будь то античастицы (ядерная физика) или брачные отношения (социология). Таким образом, в силу идеальной и сугубо «ментальной» природы математики, язык формальных математических структур знаково-символического мышления универсален. Благодаря этому открываются возможности для глубоких аналогий между различными областями математизированных дисциплин. Открытая, например, в свое время Гамильтоном оптико-механической аналогии, сыгравшей впоследствии важную роль в создании квантовой механики, была инициирована сугубо формальным подобием математического уравнения движения материальной точки в консервативном поле и уравнения лучевой оптики.