Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Mundus vult decipi — мир любит обманываться.

Платон считал, что в идеальном городе должно быть 5040 граждан. Никто не знает, почему их должно быть именно столько. Одна из причин может заключаться в том, что число 5040 является произведением первых семи натуральных чисел: 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040. Вторая причина может заключаться в том, что произведение чисел от 7 до 10 — Пифагор, между прочим, называл число десять «числом совершенства» — в точности равно 5040. То есть 7 × 8 × 9 × 10 = 5040.

В любом случае древние греки умели перемножать сомножители числом более двух. Если же эти сомножители представляют собой одно и то же число, то говорят о степени этого числа. Рассмотрим, например, число 7. Вот его степени, не считая самого числа 7:

7 × 7 = 49, 7 × 7 × 7 = 343, 7 × 7 × 7 × 7 = 2401,

7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 16 807…

Очевидно, что величины степеней числа, большего единицы, растут очень быстро. Кроме того, с первого взгляда очень трудно определить, сколько раз было умножено какое-либо число само на себя после того, как число умножений переваливает за четыре. Поэтому математики приняли изобретенный еще в XIV в. английским кардиналом, богословом и философом Томасом Брадвардином способ написания: справа над числом пишут индекс, показатель степени, каковой сообщает нам, сколько раз умножается число само на себя. То есть мы можем записать:

7 1 = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7 4 = 2401, 7 5 = 16 807…

С числом 10 мы использовали такую форму записи уже много раз: миллион, число, представляющее собой единицу с шестью нулями, выглядит при записи в виде степени числа 10 как 10 6, то есть шесть перемноженных чисел 10.

Но вот степени единицы — вещи довольно скучные и однообразные, любая степень единицы равна в точности единице. Если же к единице прибавить небольшую ее долю, то картина меняется. Степени такого числа сначала увеличиваются весьма незначительно, но затем значения степеней резко взмывают ввысь.

Знание этой особенности может уберечь от финансовой катастрофы.

Об этом рассказывает печальная, но, слава богу, вымышленная история, действие которой происходит в Тоскане во времена Возрождения. Некий крестьянин по имени Симпличио хочет приобрести близ Сиены участок земли и для этой цели занимает в банке «Монте ди Пьета» сто флоринов. Каждая из этой сотни чудесных монет содержит три с половиной грамма чистейшего золота; сто флоринов — это нешуточное состояние.

— Мы с радостью одолжим тебе эти деньги, — деликатно сообщает банковский служащий, глядя, как Симпличио укладывает монеты в мешок, — но все же подумай: каждый год твой долг будет увеличиваться на десять процентов.

— Что значит «десять процентов»? — интересуется Симпличио, и служащий пускается в объяснения:

— Если ты берешь у нас сто флоринов, то сейчас ты должен нам только эти деньги. Ты можешь отдать их нам обратно. Если же нам придется ждать год, прежде чем ты вернешь нам долг, то мы захотим получить не только те сто флоринов, что дали тебе сегодня, но и десять процентов суммы. Десять процентов — это буквально означает «десять из ста», то есть десять сотых твоего долга. Это десятая часть тех денег, которые ты берешь у нас сегодня.

— Но я не хочу платить больше, чем беру, — возмущается Симпличио.

— Мне очень жаль, но в таком случае я не смогу дать тебе деньги, — сокрушенно говорит банковский служащий и протягивает руку к мешку с деньгами. — Но спроси у кого хочешь в Сиене, и ты узнаешь, что ни один заимодавец не дает деньги в долг просто так. Все хотят иметь свой процент. Большинство берет пятнадцать процентов, но есть и такие наглые ростовщики, что берут и двадцать. Ты сам подумай: если ты купишь землю и засеешь ее, то через год ты наверняка будешь богаче, чем сейчас, и сможешь легко отдать долг вместе с процентами.

Симпличио соглашается. Он берет деньги, ставит крестик под долговой распиской, где сказано о десяти процентах, покупает землю и надеется на скорое обогащение.

Но скоро сказка сказывается, да нескоро дело делается. Сиену поражает засуха, неурожай повторяется из года в год целых семь лет. Почти всем, даже самым богатым крестьянам едва хватает средств, чтобы просто сводить концы с концами. Ни о каких накоплениях не может быть и речи. Не слишком тучными оказываются и следующие семь лет. Каждый месяц Симпличио туже затягивает пояс, чтобы отложить на уплату долга один-два флорина. Симпличио понимает, что рано или поздно долг придется возвращать.

Через четырнадцать лет Симпличио наконец набирает требуемую сумму. Крестьянин посчитал, что за каждый год он должен уплатить сверх ста флоринов еще десять. Он сложил сто сорок флоринов и сто, получил 240 флоринов и решил, что сможет рассчитаться с банком.

В банке Симпличио отвели к молодому, надменному служащему, на стол которого Симпличио выложил свои 240 флоринов. Нахальный банкир положил перед собой расписку Симпличио и бумажку с какими-то расчетами, с недовольной миной пересчитал принесенные деньги и сказал ледяным тоном:

— Этого очень мало.

— Почему мало? — искренне удивился Симпличио. — Я занял у вас сто флоринов и каждый год прибавлял по десять флоринов. За четырнадцать лет получилось сто сорок флоринов, которые я и принес вместе с прежней сотней.

— Ваш долг составляет 380 флоринов. Я возьму сейчас двести сорок флоринов, но вы останетесь нам должны еще сто сорок. Между прочим, за эти сто сорок флоринов вы будете впредь выплачивать по 12 процентов в год…

Симпличио не стал выслушивать эту фразу до конца. В бешенстве он выскакивает из банка, бежит по улицам Сиены, пока не оказывается в кабаке, где собираются недовольные режимом новески {11}— разбойники, периодически наводящие страх на бюргеров Сиены. Во время очередного восстания Симпличио оказывается в первых рядах с обнаженной саблей. Дальше следы его теряются.

Судьба бедного Симпличио была решена уже в тот момент, когда он решил, что при расчете процентов их величины складываются. Это самая страшная ошибка, которую совершают при начислении процентов, и совершил ее не только выдуманный нами Симпличио — ее совершают очень многие и в наши дни. На самом деле при расчете процентов надо не складывать, а умножать .

Симпличио подсчитал, сколько флоринов составят десять процентов от долга, а потом каждый год откладывал по десять флоринов в течение четырнадцати лет, считая по 10 процентов от первоначальной суммы. Счетоводы «Монте ди Пьета» считали несколько по-иному: ставка в десять процентов означает, что в течение года одолженный капитал увеличивается на коэффициент 1 + 10 % = 1 + 10/100, то есть первоначальную сумму надо умножить на величину 1,1. В первый год расчет банка не отличается от расчета, произведенного Симпличио. По истечении одного года он должен вернуть банку