Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

364/365 × 363/365 × 362/365 ×… ×343/365

Это выражение свидетельствует: точная вероятность, что даты рождения всех 23 человек отличаются (с учетом возможных зависимостей), составляет 0,4927, что чуть меньше 1/2. Используя принцип исчерпывающего множества комбинации величин (утверждающий, что единственными вариантами в нашем случае является либо отсутствие совпадений, либо наличие как минимум одной общей даты рождения), получаем, что вероятность совпадения дат составляет 0,5073, что немного больше 1/2. Если в группе будет 70 человек, количество возможных пар вырастет до 2415. Точный расчет в таком случае дает почти абсолютную вероятность совпадения – 0,999. На рис. 16 показано, как изменяется вероятность того, что два события произойдут в один день, по мере роста числа рассматриваемых независимых событий с одного до ста.

Для несведущего в математике человека такая высокая вероятность может оказаться неожиданной. Я воспользовался этим приемом, чтобы произвести впечатление на моего литературного агента, когда мы в первый раз обсуждали перспективы данной книги. Я поспорил с ним на выпивку, что найду в относительно немноголюдном пабе хотя бы пару человек, даты рождения которых совпадают. Окинув взглядом помещение, он с готовностью принял пари – и даже поднял ставки, предложив оплатить два раунда выпивки, если я смогу найти такую пару; он совсем не верил в такую возможность. Спустя двадцать минут, множества озадаченных взглядов и несколько легких оправданий («Все в порядке, – поясняла моя слегка потрепанная ипостась людям, к которым я приставал с расспросами, – я математик!»), я нашел свою пару именинников, так что выпивка была за счет Криса. Наверное, это было не совсем честно с моей стороны – покупая выпивку первый раз, я уже подсчитал количество посетителей в баре. Их было около 40, и я знал, что с таким числом участников я мог проиграть пари с мизерной вероятностью в 11 %. Я должен был ставить два к одному против Криса, а не наоборот. Разумеется, высокая вероятность совпадений при удивительно малом количестве событий имеет несколько более глубокие последствия, чем небольшой математический розыгрыш простодушной жертвы в баре. В частности, это может помочь нам проверить вывод Горки о том, что исламисты способны наносить удары в любой момент, когда захотят.

Рис. 16. Вероятность наступления двух и более событий в один и тот же день возрастает с увеличением количества событий. При наличии 23 событий вероятность совпадения чуть выше 1/2. При наличии 39 независимых событий вероятность того, что в один день произойдут как минимум два из них, возрастает почти до 0,9

За пять лет с апреля 2013 по апрель 2018 года исламистские террористы совершили не менее 39 терактов против западных государств (Европейского союза, Северной Америки или Австралии). На первый взгляд кажется маловероятным, что два из них выпали на одну и ту же дату, если бы их разброс по году был действительно случаен. Однако, поскольку из 39 событий можно составить 741 пару, вероятность, что два из них придутся на одну и ту же дату, очень высока – около 88 %, как показано на рис. 16. С такой высокой вероятностью удивительно было бы, если бы даты двух каких-нибудь терактов не совпали. Конечно, это ничего не говорит о вероятности будущих терактов, но, похоже, Горка серьезно переоценил организационные навыки исламистов.

Та же логика парадокса дней рождения свидетельствует, что к интерпретации ДНК-доказательств, которые так распространены во многих современных уголовных процессах (как было показано в предыдущей главе), следует относиться с изрядной осторожностью. В 2001 году во время поиска в базе данных ДНК штата Аризона, состоящей из 65 493 образцов, ученый обнаружил частичное совпадение между двумя несвязанными профилями. Девять из тринадцати локусов совпали между собой. Для того чтобы оценить масштаб случившегося, стоит учесть, что ожидаемая частота совпадений такого уровня для двух несвязанных лиц составляет примерно 1 на 31 миллион обследованных профилей. Этот громкий случай спровоцировал масштабный поиск других возможных совпадений. Обработав базу данных полностью, эксперты обнаружили 122 пары профилей, совпадающих по девяти и более локусам.

Результаты этого исследования [111] Troyer, K., Gilboy, T., & Koeneman, B. (2001). A nine STR locus match between two apparently unrelated individuals using AmpFlSTRR Profiler Plus and Cofiler. In Genetic Identity Conference Proceedings, 12th International Symposium on Human Identification. Retrieved from https://www.promega.ee/~/media/files/resources/conference proceedings/ishi 12/poster abstracts/troyer.pdf заставили юристов усомниться в уникальности ДНК-идентификаторов; они потребовали провести аналогичные сравнения в других базах данных ДНК по всей территории США, в том числе в национальной базе профилей ДНК, содержащей 11 миллионов образцов. Если в базе данных Аризоны обнаружилось 122 совпадения профилей ДНК всего на 65 тысяч образцов, то можно ли полагаться на ДНК как уникальный идентификатор подозреваемых в стране с населением в 300 миллионов человек? [112] Curran, J. (2010). Are DNA profiles as rare as we think? Or can we trust DNA statistics? Significance, 7 (2), 62–6. https://doi.org/ 10.1111/j.1740–9713.2010.00420.x Ведь если вероятностные заключения по результатам анализов ДНК были некорректными, это подрывало достоверность судебных решений, вынесенных на их основаниях по всей стране. Некоторые юристы были настолько в этом уверены, что начали ставить под сомнение достоверность ДНК-доказательств в ходе судебных процессов их подзащитных, основываясь на результатах аризонского исследования.

На деле же, используя формулу для треугольных чисел, мы можем подсчитать, что сравнение каждого из 65 493 образцов в базе данных Аризоны с каждым из них дает в общей сложности более двух миллиардов уникальных пар образцов. С вероятностью совпадения 1 на 31 миллион пар несвязанных профилей мы вполне можем ожидать 68 частичных (то есть при девяти локусах) совпадений. Разницу между ожидаемыми 68 совпадениями и 122, которые были найдены, легко объяснить тем, что в базе данных хранились профили близких родственников. Эти профили имеют значительно больше шансов на частичное совпадение, чем профили тех, кто не связан узами родства. Таким образом, аризонское исследование вовсе не ставит под сомнение достоверность доказательств, полученных на основе анализа ДНК, – напротив, в свете того, что нам открыли треугольные числа, результаты аризонского исследования хорошо согласуются с математикой.

В статье Daily Star, рассказавшей о совпадении дат убийства Ли Ригби и взрыва в «Манчестер Арене», вероятность, которую нужно было оценить, чтобы проверить обоснованность заявлений Горки, была скрытой. Большинство рекламодателей используют цифры ровно наоборот – если какие-то данные могут свидетельствовать в пользу их продукта, эти данные старательно выпячивают. Рекламодатели прекрасно знают, что люди, как правило, безоговорочно доверяют цифрам. Числовые данные в рекламе могут быть чрезвычайно убедительными, они придают вес аргументам промоутера. Очевидная непредвзятость статистики, кажется, говорит: «Не надо слепо доверять тому, что мы говорим, – доверьтесь этим объективным и неоспоримым доказательствам». Но эта объективность обманчива.