Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

К счастью, как вы, вероятно, знаете из собственного опыта, сортировка коллекции записей, книг или DVD-дисков является проблемой категории Р – одной из тех, для которых есть практическое решение. Самый простой алгоритм такого решения называется пузырьковая сортировка (или сортировка простыми обменами). Работает он следующим образом. Мы сокращаем исполнителей из нашей скудной коллекции записей до первых букв – L, Q, C, O и A с тем, чтобы расставить их в алфавитном порядке. Алгоритм пузырьковой сортировки проверяет весь набор попарно слева направо и меняет соседние альбомы, если они расположены неверно (не в алфавитном порядке). Он продолжает просматривать альбомы, пока не расставит все в правильном порядке, рассортировав всю коллекцию. На первом проходе L остается на том же месте (в алфавите она идет раньше Q), но при сравнении Q и C алгоритм определит, что они расставлены неверно и поменяет их местами. Дальше сортировка продолжается: в процессе первого прохода местами поменяются Q и O, а затем – Q и A; список приобретет вид L, C, O, A, Q. К концу этого прохода Q окажется на своем законном месте в конце списка. На втором проходе С поменяется местами с L, а А – с О, в результате чего О тоже окажется в правильном месте: C, L, A, O, Q. Для того чтобы поставить А на первое место и выстроить весь список в правильном алфавитном порядке, потребуется еще два прохода.

Сортируя пять альбомов, нам пришлось прочесать несортированный список четыре раза, каждый раз делая по четыре сравнения. С десятью альбомами нам потребовалось бы девять проходов с девятью сравнениями в каждом. Это означает, что объем работы, который мы должны выполнить во время сортировки, растет почти в квадрате количества сортируемых объектов. Для сортировки большой коллекции потребуется уйма работы, но все же сотни сравнений, которые нужны, чтобы рассортировать 30 альбомов при пузырьковом алгоритме выглядят привлекательнее триллионов возможных расстановок, которые нам пришлось бы рассмотреть, возьмись мы сортировать коллекцию путем простого (полного) перебора всех возможных комбинаций. Несмотря на все достоинства пузырькового метода, ученые-компьютерщики отзываются о нем пренебрежительно, считая его неэффективным. В реальных интернет-приложениях, таких как лента новостей Facebook или лента фотографий Instagram, где нужно сортировать и отображать в соответствии с последними приоритетами технологических гигантов миллиарды сообщений, от простых пузырьковых алгоритмов приходится отказываться в пользу их более современных и совершенных родичей. Сортировка слиянием, например, сначала разбивает сообщения на небольшие группы, которые затем быстро сортируются и компонуются в правильном порядке.

В 2008 году во время предвыборной кампании в США Джона Маккейна, объявившего о намерении выставить свою кандидатуру, вскоре после этого пригласили выступить в Google, чтобы обсудить его политическую платформу. Эрик Шмидт, в тот момент генеральный директор Google, в шутку сказал тогда Маккейну, что баллотироваться на пост президента – примерно то же самое, что и проходить собеседование при приеме на работу в Google. А затем задал ему один из вопросов, которые задают на таком собеседовании: «Как вы определите хорошие способы сортировки одного миллиона 32-битных целых чисел в двух мегабайтах оперативной памяти?» Маккейн смешался, а Шмидт, повеселившись, быстро перешел к следующему вопросу – уже серьезному. Шесть месяцев спустя, когда в прицеле Google оказался Барак Обама, Шмидт задал ему тот же самый вопрос. Обама посмотрел на публику, потер бровь и начал: «Ну, э-э-э…». Чувствуя растерянность Обамы, Шмидт попытался вмешаться, но как раз в этот момент Обама закончил, глядя Шмидту прямо в глаза: «…нет-нет-нет, я думаю, что делать это через “пузырьки” – не лучшая идея», – под гром аплодисментов и одобрительные крики собравшихся компьютерщиков. Неожиданная эрудиция Обамы – шутка «для посвященных» о неэффективности пузырькового алгоритма сортировки – была одним из ключевых элементов его, казалось бы, естественной харизмы (которую на деле обеспечивала тщательная подготовка), отличавшей всю его кампанию и в конце концов приведшей его в Белый дом.

Теперь, располагая эффективными алгоритмами сортировки, приятно думать, что следующая перестановка книг или реорганизация коллекции DVD не отнимет у вас больше времени, чем существование Вселенной.

Существуют, однако, проблемы, которые просты в изложении, но для их решения может потребоваться астрономическое количество времени. Представьте, что вы работаете в крупной транспортной компании вроде DHL или UPS и за смену вам нужно доставить по разным адресам несколько посылок. Поскольку вам платят по количеству доставленных посылок, а не по времени, которое вы тратите на их доставку, вы хотите найти кратчайший маршрут между всеми пунктами доставки. В этом суть старой и важной математической головоломки – задачи коммивояжера. С ростом количества пунктов доставки сложность выбора оптимального маршрута растет лавинообразно – происходит так называемый комбинаторный взрыв. Вариативность маршрута с добавлением к нему новых локаций растет быстрее экспоненты. Если вы начнете с 30 адресов доставки, то у вас будет 30 вариантов выбора первой точки, 29 – второй, 28 – третьей и так далее. В общей сложности нужно будет проверить 30 × 29 × 28 ×… × 3 × 2 разных маршрута. Итого количество возможных маршрутов с 30 остановками составляет около 265 нониллионов – 265 с 30 нулями. Но на этот раз, в отличие от проблемы сортировки, у вас нет простого решения – практического алгоритма, решающего эту задачу в полиномиальном время, не существует. Проверить правильность решения так же сложно, как и найти его, поскольку проверять необходимо все возможные решения.

В офисе компании менеджер по логистике может попытаться распределить адреса между несколькими водителями, одновременно планируя их оптимальные маршруты. Сопутствующая задача маршрутизации транспортных средств даже более сложна, чем проблема коммивояжера. Эти две задачи возникают повсеместно – от планирования городских автобусных маршрутов, сбора почты из почтовых ящиков и снятия предметов со складских полок до сверления отверстий в печатных платах, изготовления микросхем и подключения компьютеров к сети.

Единственное достоинство всех этих проблем заключается в том, что хорошие решения для некоторых таких задач мы можем распознать сразу, как только увидим. Если при формулировке проблемы ввести определенное условие – например, указать, что общая протяженность маршрута доставки не должна превышать 1000 миль, то адекватность предложенного решения мы сможем проверить сразу и легко, даже если найти такой маршрут очень трудно. Подобная задача так и называется – «задача принятия решения»; в нашем случае это проблема коммивояжера с задачей принятия решения, и она требует ответа «да» или «нет». Это один из типов проблем группы NP, для которого найти решение сложно, но проверить его легко.