Стивен Вайнберг - Первые три минуты

После расширения плотность энергии du' в новом интервале длин волн от λ' до λ' + dλ' меньше первоначальной плотности энергии du в старом интервале длин воли от λ до λ + dλ по двум различным причинам.

1. Так как объем Вселенной увеличился в f 3 раз, то до тех пор, пока не рождалось и не уничтожалось никаких фотонов, их число в единице объема уменьшилось в f 3 раз, т. е. изменилось на множитель 1/ f 3 .

2. Энергия каждого фотона обратно пропорциональна его длине волны и поэтому уменьшилась на множитель 1/ f . Отсюда следует, что плотность энергии уменьшилась на общий множитель 1/ f 3 , умноженный на 1/ f , то есть на множитель 1/ f 4 :

Если мы теперь перепишем эту формулу, введя новую длину волны λ' , то она примет вид

Но это в точности та же формула, что и старая формула для du , выраженная через λ и dλ , за исключением того, что Т заменяется новой температурой

Следовательно, мы заключаем, что свободно расширяющееся излучение черного тела продолжает описываться формулой Планка, но с температурой, падающей обратно пропорционально масштабу расширения.

Для того чтобы сгусток вещества образовал гравитационно связанную систему, необходимо, чтобы его гравитационная потенциальная энергия превысила внутреннюю тепловую энергию. Гравитационная потенциальная энергия сгустка радиуса r и массы M порядка

Внутренняя энергия в единице объема пропорциональна давлению p , так что полная внутренняя энергия порядка

Следовательно, гравитационное сжатие будет преобладать, если

Но для заданной плотности р мы можем выразить r через М с помощью соотношения

Условие гравитационного стягивания можно поэтому переписать в виде

или, иными словами,

где M D (с точностью до несущественного численного множителя) — величина, известная как масса Джинса:

Например, как раз перед рекомбинацией водорода плотность массы равнялась 9,9 × 10 -22г/см 3(см. математическое допол-нение 3), а давление равнялось [58] Здесь включено давление излучения. — Прим. ред. :

Поэтому масса Джинса была равна

где M Θ — масса Солнца. (Для сравнения масса нашей Галактики равна примерно 10 11 М Θ .) После рекомбинации давление [59] Рассматривается только давление вещества. — Прим. ред. упало в 10 9раз, так что масса Джинса уменьшилась до

Интересно, что это примерно равно массе больших шаровых скоплений внутри нашей Галактики.

До тех пор, пока сохраняется тепловое равновесие, полное значение величины, называемой «энтропией», остается фиксированным. В достаточном для наших целей приближении энтропия S в единице объема при температуре Т дается формулой

где N T — эффективное число разновидностей частиц, находящихся в тепловом равновесии, пороговая температура которых ниже Т . Для того чтобы удержать полную энтропию постоянной, S должна быть пропорциональна обратному кубу размера Вселенной. Это значит, что если R есть расстояние между любой парой типичных частиц, то

Как раз перед аннигиляцией электронов и позитронов (при температуре около 5 × 10 9К) нейтрино и антинейтрино уже вышли из теплового равновесия с остальным содержимым Вселенной, так что единственными частицами, имевшимися в больших количествах в равновесии, были электрон, позитрон и фотон. Мы видим, что согласно табл. 1 полное эффективное число разновидностей частиц перед аннигиляцией составляло [60] Речь идет о находящихся в равновесии и взаимодействующих частицах е + , е - и γ . — Прим. ред.

После аннигиляции электронов и позитронов в четвертом кадре единственными частицами, которые остались в равновесии в большом количестве, были фотоны. Эффективное число разновидностей частиц равнялось поэтому просто

Из закона сохранения энтропии следует, что

Это значит, что тепло, выделившееся при аннигиляции электронов и позитронов, увеличило величину TR на множитель

Перед аннигиляцией электронов и позитронов температура нейтрино T ν была такой же, как и температура фотонов Т . Но после этого Т просто падала как 1/ R , так что для всех последующих моментов времени произведение T νR равнялось значению TR перед аннигиляцией.