О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел

(6, 8, 10), (15, 20, 25)

являются пифагоровыми тройками, получающимися из простейшего решения (3, 4, 5).

В простейшей тройке ( x, у, z ) не существует общего множителя для всех трех чисел. В действительности справедливо более сильное утверждение: никакие два числа из простейшей тройки не имеют общего множителя, т. е.

D ( x, y ) = 1, D ( x, z ) = 1, D(y, z ) = 1. (5.1.4)

Чтобы доказать это, предположим, что, например, х и у имеют общий делитель. Тогда они имеют общий простой делитель р . В соответствии с (5.1.1) число р должно также делить и r . Итак, ( х, у, z ) не может быть простейшей тройкой. Такие же рассуждения применимы для доказательства остальных двух утверждений.

Рассмотрим еще ряд свойств простейших троек. Мы только что получили, что числа х и у не могут быть оба четными, но мы можем также показать, что они не могут быть и оба нечетными. Действительно, предположим, что

x = 2 a +1, y = 2 b + 1.

После возведения в квадрат этих чисел и сложения их, получим число

x 2+ y 2= (2 a + 1) 2+ (2 b + 1) 2= 2 + 4 а + 4 a 2+ 4 b + 4 b 2= 2 + 4 ( а + а 2+ b + b 2),

делящееся на 2, но не делящееся на 4. В соответствии с (5.1.1) это означает, что z 2делится на 2, но не делится на 4, но это невозможно, так как если z 2делится на 2, то и z делится на 2, но тогда z 2делится на 4.

Так как одно из чисел х и у — четное, а другое — нечетное, то z — также нечетное. Для определенности будем считать, что в наших обозначениях число х — четное, а у — нечетное.

Чтобы найти простейшие решения уравнения Пифагора (5.1.1), перепишем его в виде

x 2= z 2— y 2= ( z + y )( z — y ). (5.2.1)

Вспоминая, что х — четное, а у и z — оба нечетные, получаем, что все три числа

х, z + y, z — y

четные. Тогда мы можем разделить обе части уравнения (5.2.1) на 4 и получить

(1/2 x ) 2= 1/2 ( z + y ) 1/2 ( z — y ). (5.2.2)

Обозначим

m 1 = 1/2 ( z + y ), n 1= 1/2 ( z — y ); (5.2.3)

тогда уравнение (5.2.2) перепишется как

(1/2 x ) 2= m 1 n 1. (5.2.4)

Числа m 1и n 1взаимно простые. Чтобы это увидеть, предположим, что

d = D ( m 1, n 1)

есть наибольший общий делитель чисел m 1и n 1. Тогда, как это следует из § 1 гл. 4, число d должно делить оба числа

m 1+ n 1= z , m 1— n 1= y.

Но единственным общим делителем чисел z и у в простейшей тройке может быть только 1, поэтому

d = D ( m 1, n 1) = 1. (5.2.5)

Так как произведение (5.2.4) этих двух взаимно простых чисел является квадратом, то можно использовать результат, изложенный в конце § 2 гл. 4 (стр. 50), согласно которому числа m 1и n 1являются квадратами

m 1= m 2, n 1=, D ( m, n ) = 1. (5.2.6)

Здесь мы можем без нарушения общности считать, что m > 0, n > 0. Теперь подставим m 2и n 2вместо m 1и n 1 соответственно в уравнения (5.2.3) и (5.2.4);

получим

m 2= 1/2 z + 1/2 y, n 2= 1/2 z — 1/2 y, m 2 n 2= 1/4 x 2,

т. е.

x = 2 mn, y = m 2— n 2, z = m 2+ n 2. (5.2.7)

Проверка показывает, что эти три числа всегда удовлетворяют соотношению Пифагора х 2 + у 2= z 2.

Осталось определить, какие целые положительные числа m и n в действительности соответствуют простейшим треугольникам. Докажем, что следующие три условия на числа m и n являются необходимыми и достаточными:

(1) ( m, n ) = 1,

(2) m > n , (5.2.8)

(3) одно из чисел m и n четное, а другое — нечетное.

Доказательство . Сначала покажем, что если числа х, у, z образуют простейшую тройку, то условия (5.2.8) выполняются. Мы уже показали, что условие (1) является следствием того, что числа х, у, z взаимно простые. Условие (2) следует из того, что числа х, у, z — положительны. Чтобы увидеть, что условие (3) необходимо, заметим, что если m и n оба нечетные, то в соответствии с (5.2.7) у и z были бы оба четные, в противоречие с результатами, полученными в конце предыдущего параграфа.

Наоборот, если условия (5.2.8) выполнены, то соотношения (5.2.7) определяют простейшую тройку: условие (2) обеспечивает положительность чисел х, у и z .

Могут ли какие-нибудь два из этих трех чисел иметь общий простой множитель р ? Такое простое число р , делящее два из них, должно также делить и третье в силу соотношения х 2+ у 2= z 2. Если число р делит х , то оно в соответствии с (5.2.7) должно делить 2 mn . Число р не может равняться 2, потому что у и z нечетные в соответствии с условием (3) и (5.2.7). Предположим, что р ≠ 2 — нечетное простое число, делящее m . Тогда условие (1) и выражение (5.2.7) показывают, что р не может делить у и z . Такие же рассуждения применимы и для случая, если р делит число n .

Найдя необходимые и достаточные условия (5.2.8) для того, чтобы m и n давали простейший треугольник, можно вычислить все такие треугольники с помощью соотношения (5.2.7). Например, пусть

m = 11, n = 8.

Наши условия выполнены, и мы находим, что

х = 176, у = 57, z = 185.

В табл. 3 приведены все простейшие треугольники х, у, z для нескольких первых значений чисел т и n .

Таблица 3

Система задач 5.2.

1. Продлите таблицу для всех значений m ≤ 10.

2. Могут ли два разных набора значений чисел m и п , удовлетворяющих условию (5.2.8), дать один и тот же треугольник?

3. Найдите все пифагоровы треугольники, у которых длина гипотенузы не превосходит 100.

Мы решили задачу нахождения всех треугольников Пифагора. Здесь, как почти всегда в математике, решение одной задачи приводит к постановке ряда других задач. Часто новые вопросы оказываются значительно более трудными, чем первоначальный.

Одним из естественных вопросов о простейших треугольниках является следующий. Пусть задана одна из сторон простейшего треугольника Пифагора, как найти остальные? Первым рассмотрим случай, когда известна сторона у . В соответствии с (5.2.7)

y = m 2— n 2= ( m + n )( m — п ), (5.3.1)

где m и n —числа, удовлетворяющие условиям (5.2.8).

В уравнении (5.3.1) множители ( m + n ) и ( m — n ) взаимно простые. Чтобы в этом убедиться, заметим, что эти множители

а = m + n, b = m — n (5.3.2)

оба нечетные, так как одно из чисел m и n нечетное, а другое четное. Если числа а и b имеют общий нечетный простой множитель р , то число р должно было бы делить каждое из чисел