О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел

а + b = m + n + ( m — n ) = 2 m

и

а — b = m + n — ( m — n ) = 2 n ,

т. е. р должно было бы делить числа m и n . Но это невозможно, так как D ( m, n ) = 1.

Предположим теперь, что есть разложение данного нечетного числа у на два множителя

y = a b, a > b, D ( a, b ) = 1. (5.3.3)

Из (5.3.2) получаем

m = 1/2 ( a + b ), n = 1/2 ( a — b ). (5.3.4)

Эти два числа также взаимно простые, поскольку любой их общий множитель должен был бы делить числа а = m + n и b = m — n . Кроме того, числа m и n не могут быть оба нечетными, ибо тогда каждое из чисел а и b делилось бы на 2. Отсюда заключаем, что числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8) и, таким образом, определяют простейший треугольник, одна из сторон которого у = m 2— n 2.

Пример . Пусть y = 15. Для него существуют два разложения на множители, удовлетворяющие условиям (5.3.3), а именно:

у = 15 • 1 = 5 • 3.

Первое из них дает

m = 8, n = 7, x = 112, у = 15, z = 113,

а второе

m = 4, n = 1, x = 8, y = 15, z = 17.

Пусть, далее, задана сторона х . Так как какое-то из чисел m или n делится на 2, то очевидно, что х = 2 mn должно делиться на 4. Если разложить число х /2 на два взаимно простых множителя, то больший из них можно взять в качестве числа m , а меньший — n .

Пример . Возьмем х = 24; тогда

1/2 x = 12 • 1 = 4 • 3.

Первое разложение дает

m = 12, n = 4, х = 24, y = 143, z = 145,

а второе

т = 4, n = 3, х = 24, у = 7, z = 25.

Третий и последний случай приводит нас к необходимости коснуться одной важной задачи теории чисел. Если z — гипотенуза простейшего треугольника Пифагора, то в соответствии с (5.2.7) имеем

z = m 2 + n 2. (5.3.5)

т. е. число z есть сумма квадратов чисел m и n , удовлетворяющих условиям (5.2.8).

Это приводит нас к постановке вопроса, уже решенного П. Ферма: когда целое число можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:

z = a 2+ b 2? (5.3.6)

На время забудем все ограничения на числа а и b . Пусть они могут иметь общие множители, а также каждое из них, или даже сразу оба могут обращаться в нуль. Перечислим все целые числа, меньшие десяти, представляемые в виде суммы двух квадратов:

0 = 0 2+ 0 2, 1 = 1 2+ 0 2, 2 = 1 2+ 1 2, 4 = 2 2+ 0 2, 5 = 2 2+ 1 2, 8 = 2 2+ 2 2, 9 = 3 2+ 0 2, 10 = 3 2+1 2.

Оставшиеся числа 3, 6 и 7 не представляются в виде суммы двух квадратов.

Опишем, как можно выяснить, является ли число суммой двух квадратов. К сожалению, мы не можем привести здесь доказательства ввиду его сложности.

Рассмотрим вначале простые числа. Каждое простое число вида р = 4 n + 1 всегда является суммой двух квадратов; например,

5 = 2 2+ 1 2, 13 = 3 2+ 2 2, 17 = 4 2+1 2, 29 = 5 2+ 2 2.

Существенно, что такое представление может осуществляться единственным способом.

Остальные нечетные простые числа имеют вид q = 4 n + 3, т. е.

q = 3, 7, 11, 19, 23, 31…

Ни одно такое простое число не представляется в виде суммы двух квадратов; более того, вообще ни одно число вида 4 n + 3 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если целые числа а и b оба четные, то а 2и b 2оба делятся на 4, отсюда и а 2+ b 2делится на 4. Если они оба нечетные, например, а = 2 k + 1, b = 2 l + 1, то а 2+ b 2= 4 k 2+ 4 k + 1 + 4 l 2+ 4 l + 1 = 4 ( k 2+ l 2+ k + l ) + 2, поэтому а 2+ b 2имеет при делении на 4 остаток 2. И наконец, если одно из целых чисел а и b четное, а другое — нечетное, скажем, а = 2 k + 1, b = 2 l , то а 2+ b 2= 4 k 2+ 4 k + 1 + 4 l 2 и имеет при делении на 4 остаток 1. Итак, мы перебрали все возможности и можем заключить, что сумма двух квадратов никогда не представима в виде 4 n + 3.

Чтобы закончить наше исследование для простых чисел, заметим, что 2 = 1 2+ 1 2.

Для того чтобы проверить, является ли составное число z суммой двух квадратов, разложим его на простые множители

z = p 1 α 1 p 2 α 2 •… • p k α k . (5.3.7)

Число z оказывается суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда каждое простое число p i вида 4 п + 3 входит в разложение в четной степени.

Примеры . Число z = 198 = 2 • З 2• 11 не является суммой двух квадратов, так как 11 имеет вид 4 n + 3 и входит в разложение в первой степени.

Число z = 194 = 2 • 97 является суммой двух квадратов, так как ни один из его простых множителей не является числом вида 4 n + 3. Действительно, z = 13 2+5 2.

Вернемся к нашей первоначальной задаче нахождения всех чисел z , которые могут быть гипотенузами простейших треугольников Пифагора. Такое число z должно быть представимо в виде z = m 2+ n 2, где числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8). Необходимым и достаточным условием для этого является следующее: каждый из простых множителей числа z должен иметь вид 4 n + 1. Доказательство этого утверждения мы вновь опускаем.

Примеры. z = 41. Это число легко представить в виде суммы двух квадратов искомого вида, z = 5 2+ 4 2 , так что m = 5, n = 4 и x = 40, у = 9, z = 41 выражают длины сторон соответствующего треугольника.

z = 1105 = 5 • 13 • 17. Существуют четыре представления этого числа в виде суммы двух квадратов:

1105 = ЗЗ 2+ 4 2= 32 2+ 9 2= 31 2+ 12 2= 24 2+ 23 2.

Стороны соответствующих треугольников вычислите самостоятельно.

Целый ряд задач о треугольниках Пифагора может быть решен при помощи наших формул (5.2.7)

х = 2 mn, у = m 2— n 2, z = m 2+ n 2.

Например, можно искать треугольники Пифагора с заданной площадью А . Если такой треугольник является простейшим, то его площадь равна

А = 1/2 ху = mn ( m — n ) ( m + n ). (5.3.8)

Здесь три из четырех множителей нечетны. Нетрудно видеть, что они попарно взаимно простые. Поэтому, чтобы найти все возможные значения чисел m и n , можно выделить из числа А два взаимно простых нечетных множителя k и k ( k > l ), положив

m + n = k, m — n = l ,

что дает

m = 1/2 ( k + l ), n = 1/2 ( k — l ).

После этого мы проверяем, удовлетворяют ли эти числа условиям (5.3.8).

Рассуждения несколько упрощаются, если заметить, что два множителя в выражении (5.3.8) могут равняться 1 только в единственном случае:

m = 2, n = 1, A = 6.

Действительно, два множителя в (5.3.8) могут быть равны 1, только если

n = m — n = 1,

что и дает указанное выше значение.

Пример. Найдем все треугольники Пифагора с площадью А = 360. Разложение числа А на простые множители таково: A = 2 3 3 2 • 5. Число А может быть единственным образом записано в виде произведения четырех взаимно простых множителей: А = 8 • 1 • 5 • 9. Если мы ищем простейший треугольник, то m + n = 9. Однако если m = 8, то n = 1 и m — n = 7, но А не делится на 7, а вторая возможность ( n = 8, m = 1) исключается условием > n . Поэтому такого треугольника не существует.