Норберт Винер - Кибернетика или управление и связь в животном и машине

Рис. 10. Интерферометр Майкельсона

Все это неявно содержалось в работе Майкельсона. Нетрудно видеть, что при выполнении преобразования Фурье над интерференционными полосами интерферометр дает нам энергетический спектр света и тем самым по существу является спектрометром. Более того, это самый точный из известных нам типов спектрометров.

Спектрометр такого типа получил должное признание лишь в последние годы. Мне говорили, что теперь он принят в качестве важного средства прецизионных измерений. Отсюда видно, что методы обработки автокорреляционных записей, которые я сейчас изложу, применимы также в спектроскопии и позволяют довести до предела ту информацию, которую может дать спектрометр.

Рассмотрим, как получить спектр мозговой электрической волны по автокорреляции. Пусть C ( t ) — автокорреляция функции f ( t ). Тогда C ( t ) можно записать в виде

(10.02)

Здесь F всегда является возрастающей или по меньшей мере неубывающей функцией от ω; мы будем называть ее интегральным спектром функции f . Вообще говоря, этот интегральный спектр состоит из трех аддитивных частей. Линейчатая часть спектра возрастает лишь на счетном множестве точек. После ее исключения останется непрерывный спектр, равный, в свою очередь, сумме двух частей: одна из них возрастает только на множестве меры нуль, а другая абсолютно непрерывна и является интегралом положительной интегрируемой функции.

Будем впредь полагать, что первые две части спектра: дискретная часть и непрерывная часть, возрастающая [c.274]на множестве меры нуль, — отсутствуют. В этом случае можно написать

(10.03)

где φ (ω) — спектральная плотность. Если φ (ω) принадлежит к классу Лебега L 2, то можно написать

(10.04)

Как видно по автокорреляционной кривой мозговых волн, преобладающая часть мощности спектра сосредоточена в окрестности частоты 10 гц. В таком случае φ (ω) будет иметь форму, подобную следующей диаграмме:

Два пика около 10 и —10 суть зеркальные изображения друг друга.

Известны различные способы численного выполнения разложения Фурье, включая применение интегрирующих приборов и цифровые вычислительные процессы. В обоих случаях неудобством является то, что главные пики расположены около 10 и —10, а не около 0. Но существуют способы переноса гармонического анализа в окрестность нулевой частоты, которые весьма сокращают объем работы. Заметим, что

(10.05)

Другими словами, если умножить С ( t ) на е 20π it , то новый гармонический анализ даст нам полосу вблизи нулевой частоты и другую полосу вблизи частоты +20. Таким образом, если произвести такое умножение и исключить полосу вблизи +20 методами усреднения, равносильными применению волнового фильтра, то мы сведем наш гармонический анализ к гармоническому анализу в окрестности нулевой частоты. [c.275]

Но

(10.06)

Следовательно, действительная и мнимая части функции С ( t )е 20π it равны соответственно

С ( t ) cos 20π t и iС ( t ) sin 20π t .

Частоты в окрестности +20 можно исключить, пропустив эти две функции через фильтр нижних частот, что равносильно усреднению по интервалу в одну двадцатую секунды или более.

Пусть мы анализируем кривую, у которой бо́льшая часть мощности сосредоточена вблизи частоты 10 гц . Умножив эту кривую на косинус или синус от 20π t , получим кривую, являющуюся суммой двух составляющих: одна из них ведет себя локально примерно так:

а другая — примерно так:

Усреднив вторую кривую по интервалу в 0,1 сек, получим нуль. Усреднив первую кривую, получим половину максимальной высоты. Таким образом, сглаживая С ( t ) cos 20π t и iС ( t ) sin 20π t , мы получим хорошие приближения соответственно к действительной и мнимой части некоторой функции, имеющей все свои частоты в окрестности нуля, и эта функция будет обладать таким же распределением частоты вокруг нуля, какое одна часть спектра кривой C ( t ) имела вокруг 10.

Обозначим теперь через K 1( t ) результат сглаживания произведения С ( t ) cos 20π t , а через K 2( t ) — результат сглаживания произведения С ( t ) sin 20π t . Мы хотим найти [c.276]

(10.07)

Выражение (10.07) должно быть действительным, так как это спектр. Следовательно, оно будет равно

(10.08)

Другими словами, если найти косинус-преобразование от K 1и синус-преобразование от K 2и сложить их друг с другом, то мы получим смещенный спектр функции f . Можно показать, что K 1будет четной, a K 2— нечетной функцией. Стало быть, если определить косинус-преобразование от K 1и прибавить или вычесть синус-преобразование от K 2, мы получим спектр соответственно справа и слева от центральной частоты на расстоянии ω. Этот метод получения спектра мы будет называть методом гетеродинирования.

Коль скоро автокорреляционные кривые локально представляют собой почти синусоиду с периодом, скажем, 0,1 сек (как в случае автокорреляции мозговых волн на рис. 9), то вычисления, связанные с методом гетеродинирования, можно упростить. Мы берем нашу автокорреляцию через интервалы в 1/40 сек. Затем берем последовательность значений при 0, 1/20, 2/20, 3/20 сек и т. д. и меняем знак на дробях с нечетным числителем. Усредняя по очереди эти значения по достаточно длинному отрезку, получим величину, приблизительно равную K 1( t ). Взяв аналогично значения автокорреляции при 1/40, 3/40, 5/50 сек и т. д. с чередующимися знаками и проведя такое же усреднение, получим приближенную величину K 2( t ). Дальнейшая процедура очевидна.