Норберт Винер - Кибернетика или управление и связь в животном и машине

(10.16)

Это эргодическая теорема Биркгоффа, доказанная некогда автором [196]и другими.

В упомянутой статье из «Acta Mathematica» установлено, что если U — действительное унитарное преобразование функции K ( t ), то

, (10.17)

где β отличается от α только сохраняющим меру преобразованием интервала (0, 1) в себя.

Пусть теперь К ( t ) принадлежит к L 2, и пусть

(10.18)

в смысле Планшереля [197]. Рассмотрим действительную функцию

, (10.19)

изображающую отклик линейного преобразователя на броунов вход. Она будет иметь автокорреляцию

, (10.20)

[c.282]

которая, в силу эргодической теоремы, почти для всех значений α будет равна

(10.21)

Тогда спектр почти всегда будет равен

(10.22)

Но это истинный спектр. Выборочная автокорреляция за время усреднения А (в нашем случае 2700 сек ) будет равна

(10.23)

В результате выборочный спектр почти всегда будет иметь временно́е среднее

(10.24)

Следовательно, выборочный спектр и истинный спектр будут иметь одно и то же среднее значение по времени.

Для многих целей нам интересен приближенный спектр, в котором интегрирование по т производится только по интервалу (0, В ), где В в описанном выше частном случае равно 20 сек . Напомним, что f ( t ) — действительная функция, а автокорреляция — симметрическая [c.283]функция. Поэтому интеграл от 0 до В можно заменить интегралом от — В до В :

(10.25)

Эта величина будет иметь среднее значение

(10.26)

Квадрат приближенного спектра в интервале (— В , В ) будет равен

а эта величина будет иметь среднее значение

[c.284]

. (10.27)

Как известно, если m обозначает среднее, то

(10.28)

Таким образом, среднеквадратическая ошибка приближенного выборочного спектра будет равна

(10.29)

Но

(10.30)

Следовательно, интеграл

(10.31)

равен величине 1/ А , умноженной на текущее взвешенное среднее от g (ω). Если усредняемая величина приблизительно постоянна в малом интервале 1/ А , как [c.285]можно здесь разумно предположить, мы получим как приближенную главную часть среднеквадратической ошибки в любой точке спектра выражение

(10.32)

Заметим, что если приближенный выборочный спектр имеет максимум при u =10, то величина этого максимума

(10.33)

Эта величина при гладкой функции q (ω) мало будет отличаться от │ q (10)│ 2. Среднеквадратическая ошибка спектра, отнесенная к этой величине как единице измерения, будет равна

(10.34)

и, следовательно, не превосходит

(10.35)

В рассматриваемом случае она равна

(10.36)

Если допускать реальность явления провала, или, по крайней мере, реальность крутого падения нашей кривой на частоте около 9,05 гц , то будет уместно поставить по этому поводу несколько физиологических вопросов. Три главных касаются физиологической функции наблюденных нами явлений, физиологического механизма, производящего их, и применения, которое они могли бы найти в медицине.

Заметим, что резкая линия частоты эквивалентна точным часам. Так как мозг есть в некотором смысле управляющее и вычислительное устройство, естественно спросить, находят ли часы применение в других формах управляющих и вычислительных устройств. И действительно, многие из них содержат часы. Часы применяются [c.286]в таких устройствах в целях стробирования [198]. Все такие устройства должны комбинировать большое число импульсов в один импульс. Если импульсы передаются простым включением или выключением цепи, их синхронность не имеет большого значения и стробирование не нужно. Однако при подобном способе передачи импульсов вся цепь оказывается занятой вплоть до смены сообщения и значительная часть аппаратуры выводится из действия на неопределенное время. Поэтому желательно, чтобы в вычислительном или управляющем устройстве сообщения передавались комбинированным сигналом включения-выключения. Тогда аппаратура будет сразу же свободна для дальнейшего использования. Достичь этого можно, если сообщения будут запоминаться, чтобы их всех можно было послать одновременно, и затем быстро комбинироваться, пока они еще в машине. Здесь необходимо стробирование, а стробирование удобно осуществлять при помощи часов.