Адольф Френкель - Жизнь Георга Кантора

. Эти занятия теорией чисел под руководством и при одобрении Кронеккера, не были, впрочем, для Кантора лишь случайным эпизодом. Напротив, он испытал глубокое внутреннее воздействие этой дисциплины, с ее особой чистотой и изяществом. Об этом свидетельствует, наряду с первым, также третий представленный им к защите тезис: “Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” («Целые числа, подобно небесным телам, трактовать как единое целое, связанное законами и соотношениями»). К раннему времени, возможно уже к этому периоду, относится также установление связей между различными теоретико-числовыми функциями и дзета-функцией Римана (примыкающее к работе Римана о простых числах); эта работа была опубликована Кантором лишь в 1880 г., под влиянием заметки Липшица в парижских Comptes Rendus («Докладах»). О дальнейших теоретико-числовых интересах Кантора говорит, кроме его числовой таблицы [3] «Эмпирическая проверка теоремы Гольдбаха до числа 1000». Кантор составил таблицу около 1884 г., но опубликовал ее лишь в 1895 г. в C.R. de l’Association Française pour l’Avancement de la Science», 23-me session (Caen, 1894) , также сохранившийся до 1884 г., но не осуществленный план опубликовать в Acta Mathematica, работу о квадратичных формах [4] Ср. Acta Math., 50, стр. 20 . .

Э. Гейне, бывший ординарным профессором в Галле в то время, когда Кантор защищал там диссертацию, сразу же понял, что в его молодом коллеге необычайная острота ума счастливо соединяется с богатейшей фантазией. Решающее значение имело то обстоятельство, что Гейне вскоре после переезда Кантора в Галле побудил его заняться теорией тригонометрических рядов. Ревностные труды над этим предметом не только завершились рядом существенных достижений, но и привели Кантора на путь к теории точечных множеств и трансфинитным порядковым числам. Работы [1] , [4] , [6] и [7] посвящены уточнению одного утверждения Римана о тригонометрических рядах (и сопутствовавшей этому полемике с Аппелем, в которой подробно рассматривалось понятие равномерной сходимости); в работе же [2] Кантор доказывает теорему о единственности тригонометрического представления [5] Удивительно, что Кронеккер, вначале положительно отнесшийся к теореме единственности Кантора (ср. [3] ), впоследствии полностью игнорирует этот результат; например, в “Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale” («Лекциях по теории простых и кратных интегралов») (1894) он представляет вопрос о единственности как еще открытый! . Он стремится обобщить этот результат, отказываясь от каких-либо предположений о поведении ряда на некотором исключительном множестве; это вынуждает его изложить в работе [5] краткий набросок идей, «могущих быть полезными для выяснения отношений, возникающих во всех случаях, когда заданы числовые величины в конечном или бесконечном числе Здесь для точечных множеств вводятся предельные точки и производные (конечного порядка). С этой целью Кантор, с одной стороны, развивает свою теорию иррациональных чисел [6] В работе Гейне «Элементы теории функций» (J. Math., 74, стр. 172–188, 1872) иррациональные числа вводятся способом, в точности следующим идеям Кантора; ср. введение к статье Гейне, а также работу Кантора “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном») , вслед за теорией множеств обессмертившую его имя, где иррациональные числа рассматриваются как фундаментальные ряды. С другой стороны, для перехода к геометрии он вводит особую аксиому (аксиому Кантора), одновременно и независимо появившуюся в несколько иной формулировке в книге Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа».

С только что упомянутой работой [5] жизнь Кантора начинает выходить за рамки нормального развития талантливого ученого, в которые она вмещалась до того.

На второй период, примерно с 1871 по 1884 год, приходится величайшее напряжение сил гениального исследователя, увенчавшееся построением теории множеств.

1872−74 годы принесли с собой два значительных события в личной жизни Кантора. Во время одной из поездок в Швейцарию, нередких в его молодости, он в 1872 г. совершенно случайно знакомится в Герсау с Дедекиндом. Это знакомство привело, наряду с частыми личными встречами, впоследствии происходившими обычно в Гарцбурге, также к переписке, от которой сохранилось 38 писем за годы 1873−79 и 1899. Хотя математическое содержание этой переписки ограничено, они весьма интересны как отражение способа работы и настроения Кантора в то время, а равным образом противоположности характеров этих людей, связанных продолжительной дружбой и высоко ценивших друг друга. Пользуясь терминами Оствальда, можно назвать являющегося в этих письмах Кантopa «романтиком», в противоположность «классику» Дедекинду. Это различие проявляется также в темпе писем Кантора, которые в периоды научной бури и натиска буквально перегоняют друг друга, в то время как ответы Дедекинда отличаются неизменной пунктуальностью. Следует отметить также весьма значительную в начале переписки разницу в возрасте (Дедекинд был на 14 лет старше). В целом, Кантор играет в этой переписке роль спрашивающего и берущего. Уже в одном из первых писем он выражает свою потребность обсуждать с Дедекиндом научные вопросы и ближе познакомиться с ним лично; и в дальнейшем мы постоянно встречаем почтительную благодарность за то, что дает ему это знакомство, а также за «вдохновляющее и чрезвычайно поучительное воздействие» на него «классических трудов» Дедекинда (письмо от 31 августа 1899 г.). Впрочем, глубокое влияние Дедекинда, с его абстрактным, предпочтительно аналитическим подходом, стремящимся к завершенной систематике, еще сильнее сказывается косвенным образом − в построении позднейших публикаций Кантopa по теории множеств, сравнительно с конструктивным стилем молодого Кантора, продвигавшегося вперед отдельными бросками. Перемена эта во многом соответствует весьма выраженной противоположности тенденций в современных исследованиях по основаниям математики.

В то же время Кантор познакомился со своей будущей супругой Валли Гутман. В 1872 г. он стал экстраординарным профессором в Галле, весной 1874 г. состоялась помолвка, а летом свадьба. Во время свадебного путешествия молодожены встретились в Интерлакене с Дедекиндом. У Кантора было четыре дочери и два сына; никто из детей не проявил особой математической одаренности.

Семидесятые года принесли Кантору и различные внешние успехи. Уже в 1869 г. он стал действительным членом Общества Естествоиспытателей в Галле; особенно же следует отметить избрание в члены-корреспонденты Геттингенского Научного Общества. По-видимому, ни одна другая немецкая академия и ни один университет, кроме Галле, вообще не почтили публично его заслуги. Далее, в 1878 г. он отклонил приглашение в Мюнстерскую Академию, а в 1879 г. был назначен ординарным профессором в Галле.

Читать дальше